On rapporte le plan orienté à un repère orthonormal direct (O,,). L'ensemble des vecteurs du plan est noté V.

Definition

Pour tout réel , désigne par e le nombre complexe de module 1 et d'argument :

e  =  cos() + i sin()

Propriété

Pour tous réels et ' , on a :

e = e e

Remarque :

On a pour l'exponentielle complexe les mêmes règles de calcul que pour les exposants et l'exponentielle réelle (ex) : e = e/e , etc ...

Propriété

Pour tout réel , on a :

Propriété

Pour tout nombre complexe non nul z, avec  r = |z|  et  = arg(z) , on a :

z = r e

Propriété

Pour tous réels et ', on a :

re = r'e         r = r'   et   = ' + 2k   (avec k )

L'exponentielle complexe permet de calculer dans avec beaucoup de facilité. Elle permet aussi de retrouver certains résultats très facilement : par exemple, e e = e  donne tout de suite arg(zz') = arg(z) + arg(z') et ainsi de suite ...

L'interprétation géométrique du produit de deux complexes se fait par exemple très facilement avec l'exponentielle complexe alors qu'elle demande de lourds calculs pour le montrer analytiquement.

Formules d'Euler   (Introductio, 1798)

On a pour tout réel :

Formule de Moivre   (1722)

Pour tout réel et tout entier relatif n , on a :

( cos   +  i sin )n  =  cos (n )  +  i sin (n )

Remarque :

La formule de Moivre n'est autre que la transcription de  (e)n = e !

L'exponentielle complexe et les formules d'Euler et de Moivre permettent de démontrer très facilement de nombreuses formules de trigonométrie. Elles sont d'ailleurs très importantes pour linéariser des expressions trigonométriques polynomiales (ce qui permet ensuite d'intégrer sans difficulté, par exemple ...)