On rapporte le plan orienté à un repère orthonormal direct (O,,). L'ensemble des vecteurs du plan est noté V.

Definition

Pour tout complexe z tel que z = a + ib, on appelle image de z le point M de coordonnées M(a,b) ou encore M(Re(z),Im(z)).

Pour tout point M du plan, de coordonnées M(a,b), on appelle affixe de M le complexe définit par z = a + ib .

On note aff(M) l'affixe du point M : aff(M) = a + ib .

Remarque :

Les points M d'affixe réelle sont les points de l'axe horizontal (O,).

Les points M d'affixe imaginaire pure sont les points de l'axe vertical (O,).

Definition (vectorielle)

Pour tout complexe z tel que z = a + ib, on appelle image vectorielle de z le vecteur défini par  = a + b .

Pour tout vecteur  de coordonnées (a,b) , on appelle affixe de le nombre complexe défini par  a + ib .

On note aff() l'affixe du vecteur  : aff() = a + ib .

Exemples :

Le point A(3,2) a pour affixe z = 3 + 2i .

Le complexe z = 3 + 2i a pour image vectorielle  3 + 2 .

Théorème

L'affixe de la somme de deux vecteurs est égal la somme de leurs affixes :

aff(+) = aff() + aff()

Théorème

Soient A et B deux points du plan. On a : aff() = aff(B) - aff(A)

Théorème   z z+w : translation

Soit un vecteur d'affixe w . L'application de dans qui à tout complexe z associe le complexe z+w se traduit géométriquement par une translation.

Théorème   z : reflexion d'axe (O,)

(Rappel : si z = a +ib , alors = a - ib )

Soit M un point d'affixe z. Le point M' d'affixe est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses (axe horizontal !).

L'application de dans qui à tout complexe z associe le complexe se traduit géométriquement par une réflexion (ou symétrie axiale) par rapport à l'axe des abscisses.

Théorème   z - : reflexion d'axe (O,)

(Rappel : si z = a +ib , alors - = -(a - ib) = -a + ib)

Soit M un point d'affixe z. Le point M' d'affixe - est le symétrique de M par rapport à l'axe des ordonnées (axe vertical !).

L'application de dans qui à tout complexe z associe le complexe - se traduit géométriquement par une réflexion (ou symétrie axiale) par rapport à l'axe des ordonnées.

Théorème   z -z : symétrie centrale par rapport à O

Soit M un point d'affixe z = a + ib . Le point M' d'affixe  -z (=-a-ib) est le symétrique de M par rapport à O.

L'application de dans qui à tout complexe z associe le complexe -z se traduit géométriquement par une symétrie centrale par rapport à l'origine.

Théorème   z ez : rotation de centre O et d'angle '

Soit M un point d'affixe z = re. Le point M' d'affixe :

z'  =  e z  =  e re  =  ree  =  re

vérifie  |z'| = |z|  et  arg(z') = arg(z) + ' . Il est donc l'image de M par la rotation de centre O et d'angle '.

L'application de dans qui à tout complexe z associe le complexe ez se traduit géométriquement par une rotation d'angle ' et de centre O.

Théorème   z k z (avec k réel) : homothétie de centre O et de rapport k

(Rappel : si k est un réel, |k| désigne la valeur absolue de k)

Soit M un point d'affixe z = re. Le point M' d'affixe  z'  =  k z  =  kr e  vérifie :

si k > 0 : |z'| = |k|.|z|  et  arg(z') = arg(z)

si k < 0 : |z'| = |k|.|z|  et  arg(z') = arg(z) +

Il est donc l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport k .

L'application de dans qui à tout complexe z associe le complexe  e z  se traduit géométriquement par une homothétie de centre O et de rapport k .

Remarque :   SPECIALITE

Généralisons un peu :

Soit a un complexe non nul. La transformation  z az  est la composée d'une homothétie (de rapport |a| et de centre O) par une rotation (de centre O et d'angle arg(a)) (ou inversement : rotation puis homothétie) . Il s'agit donc d'une similitude de centre O, de rapport |a| et d'angle arg(a) .

De plus en plus difficile :

Soit a et b deux complexes avec a non nul et B l'image de b . La transformation  z az+b  est la composée d'une similitude (de centre O, de rapport |a| et d'angle arg(a)) par une translation (de vecteur ). Il s'agit donc d'une similitude de centre B, de rapport |a| et d'angle arg(a) .

ATTENTION, dans ce cas, on ne peut pas permuter (= "inverser l'ordre") la translation avec la similitude. En fait, la translation de vecteur doit être vue comme un changement de repère où l'on effectue une similitude autour de la nouvelle origine (B).