School Angels

Bac S 1999 Polynésie (Juin 99)

Problème (11 points) Corrigé

Soit f la fonction définie sur par : f(x) = x - e^{2x -2}.

On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal ( O ; i , j ). On prendra 5 cm comme unité.

1. a. Déterminer la limite de f en - ¥ . (0,5 point)

1. b. Vérifier que, pour tout réel x non nul : (0,25 point)

Déterminer la limite de f en +¥ . (0,5 point)

2. Déterminer f ’ . Étudier le signe de f ’(x) et calculer la valeur exacte du maximum de f. (0,25 point ; 0,5 point ; 0,25 point)

3. Démontrer que la droite (D) d’équation y = x est asymptote à la courbe (C) . (0,5 point)

Étudier la position relative de (C) et (D) . (0,5 point)

4. On note A le point de la courbe (C) d’abscisse 1 .

Déterminer une équation de la tangente (T) en A à la courbe (C) . (0,5 point)

5. a. On note I l’intervalle [0 ; 0,5] .

Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet dans l’intervalle I une unique solution qu’on notera a. (0,5 point)

5. b. Déterminer une valeur approchée à 10 ^-¹ près de a. (0,25 point)

6. Construire la courbe (C), l’asymptote (D) et la tangente (T). (0,5 point)

Partie B : Détermination d’une valeur approchée de a

On définit dans la suite (u_n) par :

1. Soit g la fonction définie sur par g(x) = e^2x^-².

Démontrer que l’équation f(x) = 0 est équivalente à g(x) = x .

2. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle I, on a : |g'(x)| £ 2/e . (0,5 point)

3. Démontrer que, pour tout réel x de l’intervalle I, g(x) appartient à I. (0,5 point)

4. Utiliser l’inégalité des accroissements finis pour démontrer que, pour tout entier naturel n : |u_n+1 - a| £ (2/e).|u_n - a| . (0,75 point)

5. Démontrer, par récurrence, que : |u_n - a| £ (2/e)ⁿ . (0,75 point)

6. En déduire que la suite (u_n) converge et donner sa limite. (0,75 point)

7. Déterminer un entier naturel p tel que : |u_p - a| < 10^-⁵. (1 point)

8. En déduire une valeur approchée de a à 10^-⁵ près : on expliquera l’algorithme utilisé sur la calculatrice. (1 point)