Bac S 1999 Polynésie (Juin 99)

Exercice 2 (5 points) SPECIALITE Corrigé

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n : 2³ⁿ - 1 est un multiple de 7 (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). (0,75 point)

En déduire que 2³ⁿ⁺¹ - 2 est un multiple de 7 et que 2³ⁿ⁺² - 4 est un multiple de 7. (0,5 point ; 0,5 point)

2. Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2. (0,5 point)

3. Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier : A_p = 2^p + 2^2p + 2^3p.

3. a. Si p = 3n, quel est le reste de la division de A_p par 7 ? (0,25 point)

3. b. Démontrer que si p = 3n + 1 alors A_p est divisible par 7. (0,25 point)

3. c. Étudier le cas où p = 3n + 2 . (0,5 point)

4. On considère les nombres entiers a et b écrits dans le système binaire :