Correction du sujet :      Bac S 1999  Polynésie  (Juin 99)

Exercice 2  (5 points)  SPECIALITE                                  Énoncé

 

1.         2.         3. a.     3. b.     3. c.     4.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

• arithmétique
• base 2
• raisonnement par récurrence

 

 

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n : 2³ⁿ - 1 est un multiple de 7 (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). (0,75 point)

En déduire que 2^{3n + 1} - 2 est un multiple de 7 et que 2^{3n + 2} - 4 est un multiple de 7. (0,5 point ; 0,5 point)

 

Deux méthodes sont possibles : la première est une démonstration par récurrence, la seconde est algébrique.

 

• 1^ère méthode :

 

Comme le suggère l'énoncé, effectuons un raisonnement par récurrence :

 

·         Pour n = 0,   2³ⁿ - 1 = 0 et zéro est un multiple de 7  (car 0 = 7 ´ 0 !) ,

 

donc cette propriété est bien vraie au rang n=0 .

 

·         Hypothèse de récurrence : Supposons que 2³ⁿ - 1 est un multiple de 7 et démontrons cette propriété au rang n+1 :

 

    2³⁽ⁿ⁺¹⁾ – 1     = 2³ⁿ ´ 2³ - 1

 

= 2³ⁿ ´ 8 - 1

                      

= 2³ⁿ ´ (7+1) - 1

                      

= 2³ⁿ ´ 7 + (2³ⁿ - 1)

 

Or, par hypothèse de récurrence, 2³ⁿ - 1 est un multiple de 7  et d'autre part,  2³ⁿ ´ 7   est forcément un multiple de 7 ,

 

donc, 2³ⁿ⁺¹ - 1 est un multiple de 7 ,

 

donc par récurrence, pour tout entier naturel n, 2³ⁿ - 1 est un multiple de 7  .

 

 

• 2^ème méthode :

 

On a :    2³ⁿ - 1 = (2³)ⁿ - 1

 

=  8ⁿ - 1

                       

= (8 - 1)(8^{n - 1} + 8^{n - 2} + … + 8 + 1)

 

= 7 ´ (8^{n -1} + 8^{n - 2} + … + 8 +1)

 

donc  2³ⁿ - 1  est bien un multiple de 7.

 

 

On a :   2³ⁿ⁺¹ - 2 = 2 ´ (2³ⁿ - 1) ,

 

et comme 2³ⁿ - 1 est un multiple de 7 (cf. ci-dessus), on en déduit que, pour tout entier naturel n,  2³ⁿ⁺¹ -2  est un multiple de 7 .

 

D'autre part, on a 2³ⁿ⁺² - 4 = 2² ´ (2³ⁿ - 1) ,

 

et comme 2³ⁿ - 1 est un multiple de 7, on en déduit que, pour tout entier naturel n,  2³ⁿ⁺² -4  est un multiple de 7.

 

 

2. Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2. (0,5 point)

 

Tout entier naturel non nul N peut s'écrire sous une des trois formes suivantes : N = 3n , N = 3n+1 , N = 3n+2 .

 

On en déduit immédiatement des résultats de la question précédente que les restes possibles lors de la division euclidienne sont :

• si N = 3n , le reste vaut 1
• si N = 3n+1 , le reste vaut 2
• si N = 3n+2 , le reste vaut 4

 

Les restes possibles sont donc 1 , 2 , et 4 .

 

 

3. Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre entier

A_p = 2^p + 2^2p + 2^3p.

3. a. Si p = 3n, quel est le reste de la division de A_p par 7 ? (0,25 point)

 

On a   A_3n = 2³ⁿ + 2⁶ⁿ + 2⁹ⁿ  .

 

Chacun des exposants 3n, 6n et 9n étant un multiple de 3, donc d'après les résultats de la question précédente, on a :

• le reste de la division de 2³ⁿ par 7 est égal à 1
• le reste de la division de 2⁶ⁿ par 7 est égal à 1
• le reste de la division de 2⁹ⁿ par 7 est égal à 1

 

donc, si p = 3n, le reste de la division de A_p par 7 est égal à 3 .

 

 

3. b. Démontrer que si p = 3n + 1 alors A_p est divisible par 7. (0,25 point)

 

On a   A_3n+1 = 2³ⁿ⁺¹ + 2⁶ⁿ⁺² + 2⁹ⁿ⁺³  .

 

On a :

• 6n+2 = 3(2n) + 2 = 3N + 2 (avec N = 2n )
• 9n+3 = 3(3n+1) = 3N' (avec N' = 3N + 1 ) ,

 

donc, d'après la question 2. , on a :

• le reste de la division de 2³ⁿ⁺¹ par 7 est égal à 2
• le reste de la division de 2⁶ⁿ⁺² par 7 est égal à 4
• le reste de la division de 2⁹ⁿ par 7 est égal à 1

 

donc, dans le cas où p = 3n+1 , le reste de la division de A_p par 7 vaut 2 + 4 + 1 = 7 .

 

donc le nombre A_p, dans le cas p = 3n+1, est divisible par 7 .

 

 

3. c. Étudier le cas où p = 3n + 2. (0,5 point)

 

On a   A_3n+2 = 2³ⁿ⁺² + 2⁶ⁿ⁺⁴ + 2⁹ⁿ⁺⁶  .

 

On a :

• 6n+4 = 6n+3+1 = 3(2n+1) + 1 = 3N + 4 (avec N = 2n )
• 9n+6 = 3(3n+2) = 3N' (avec N' = 3N+2 ) ,

 

donc, d'après la question 2. , on a :

• le reste de la division de 2³ⁿ⁺² par 7 est égal à 4
• le reste de la division de 2⁶ⁿ⁺⁴ par 7 est égal à 2
• le reste de la division de 2⁹ⁿ par 7 est égal à 1

 

donc, dans le cas où p = 3n+1 , le reste de la division de A_p par 7 vaut 4 + 2 + 1 = 7 .

 

donc le nombre A_p , dans le cas p = 3n+2, est divisible par 7 .

 

 

4. On considère les nombres entiers a et b écrits dans le système binaire :

 

              

 

Vérifier que ces deux nombres sont des nombres de la forme A_p. (0,5 point)

Sont-ils divisibles par 7 ? (0,25 point)

 

Rappel :

 

Écrit en base 2 (ou "en binaire"), un nombre se convertit en base 10 en ajoutant :

• 2 ^{i -1}  si le i^ème chiffre en partant de la droite est un 1
• 0  si le i^ème chiffre en partant de la droite est un 0 .

 

On déduit de ce rappel que :

 

 

donc  a = A₃   et   b = A₄ .

 

On a :

• 3 est de la forme 3p donc, d’après la question 3. a. , A₃ n’est pas divisible par 7 .
• 4 est de la forme 3p+1 donc, d’après 3. b. , A₄ est divisible par 7 .

 

donc b est divisible par 7 , et a ne l'est pas.

 

 

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