School Angels

Bac S 1999 Polynésie (Juin 99)

Exercice 1 (5 points) Corrigé

Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches. On en prélève n successivement et avec remise, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les deux événements suivants :

A : “ On obtient des boules des deux couleurs ” ;
B : “ On obtient au plus une blanche ”.

1. a. Calculer la probabilité de l’événement : “ Toutes les boules tirées sont de même couleur ”. (0,5 point)

1. b. Calculer la probabilité de l’événement : “ On obtient exactement une boule blanche ”. (0,5 point)

1. c. En déduire que les probabilités p(A Ç B), p(A), p(B) sont :

p(A Ç B) = n / 2ⁿ (0,5 point)
p(A) = 1 - 1/ 2^n-1 (0,5 point)
p(B) = (n+1) / 2ⁿ (0,25 point)

2. Montrer que p(A Ç B) = p(A) ´ p(B) si, et seulement si, 2ⁿ^-¹ = n + 1. (1 point)

3. Soit (u_n) la suite définie, pour tout n entier naturel supérieur ou égal à deux, par u_n = 2ⁿ^-¹ - (n+1) .Calculer u₂, u₃, u₄. (0,25 point)

Démontrer que la suite (u_n) est strictement croissante. (0,5 point)

4. En déduire la valeur de l’entier n tel que les événements A et B soient indépendants. (1 point)