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Correction du sujet : Bac S 1999
Polynésie (Juin 99)
Exercice
1 (5 points) Enoncé
Ce sujet nécessite de connaître les points suivants
du cours :
Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches. On en prélève n successivement et avec remise, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les deux événements suivants :
1. a. Calculer la probabilité de
l’événement : “ Toutes les boules tirées sont de même couleur ”. (0,5
point)
Appelons C l’événement : "Toutes les boules
tirées sont de la même couleur" .
L'événement C est réalisé lorsque les boules tirées
sont :
La probabilité de tirer une boule blanche au cours
d’un tirage est égale à 5/10 ,
c'est-à-dire 1/2 .
Comme l’urne contient 10 boules dont 5 noires, la
probabilité de tirer une boule noire est aussi égale à 1/2 .
Comme les tirages sont faits avec remise, les n
tirages se font de façon indépendante, la probabilité de tirer n boules
blanches sera donc égale à (1/2)n et celle de tirer n boules noires
à (1/2)n aussi.
Les événements "Toutes les boules tirées sont
noires" et "Toutes les boules tirées sont
blanches" sont incompatibles (en
effet, on ne peut pas avoir tiré toutes les boules noires, si on a tiré toutes
les boules blanches !), d'où :
La probabilité de tirer n boules de même couleur est
donc égale à P(C) = 1 / 2n-1 .
1. b. Calculer la probabilité de
l’événement : “ On obtient exactement une boule blanche ”. (0,5 point)
Appelons D l’événement "On obtient exactement
une boule blanche".
La probabilité de tirer une boule blanche au cours
d’un tirage est égale à 1/2 et celle de tirer
n-1 boules noires au cours
de n-1
tirages est 1/(2n-1) .
Les tirages étant effectués de façon indépendante,
la probabilité de tirer une boule blanche et
n-1 boules noires, la boule
blanche étant prélevée à un tirage déterminé, est :
Or il y a n tirages, donc il y a n façons de tirer
la boule blanche (au premier des n tirages, au second des n tirages, …),
donc, on a :
La probabilité de tirer exactement une boule blanche
est donc égale à P(D)=n / 2n .
1. c. En déduire que les probabilités p(A
Ç B), p(A), p(B)
sont :
On rappelle que :
·
A
: "On obtient des boules des deux couleurs" ;
·
B
: "On obtient au plus une blanche" .
Ce qui peut s'exprimer de la
manière suivante : "On obtient une boule blanche et les autres boules sont
noires" .
En effet, si on ne tire
aucune boule blanche, on n'a donc tiré que des boules noires et les boules
tirées ne sont alors pas des deux couleurs !
On en déduit que A Ç B = D, d'où P(A Ç B) = P(D),
d'où P(A Ç B) = n / 2n .
donc P(A) = 1 - 1/ 2n-1 .
·
soit
tiré n boules noires (événement de probabilité égale à 1 / 2n ) ;
·
soit
tiré 1 boule blanche et n - 1 boules noires (événement D de probabilité égale à n / 2n ).
Ces deux événements étant
incompatibles, on en déduit que :
donc P(B) = (n+1)/ 2n .
2. Montrer que P(A Ç B) = P(A).P(B)
si, et seulement si, 2n - 1 = n + 1. (1 point)
donc p(A Ç B) = p(A) p(B) si, et seulement si, 2n-1 = n +1 .
3. Soit (un) la suite définie,
pour tout n entier naturel supérieur ou égal à deux, par un = 2n-1 - (n+1) .Calculer u2, u3, u4. (0,25 point)
Démontrer que la suite (un) est strictement
croissante. (0,5 point)
On a
:
Montrons que la suite (un) est croissante :
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on
a
un+1
- un = 2(n+1)-1 -
[(n+1)+1] - 2n-1 + (n+1)
=
2n - 2n-1 - 1
= 2n-1.(2-1)
- 1
= 2n-1 -
1
On sait que pour
n ³ 2 , 2n-1 - 1 >
0 ,
donc pour n ³ 2 ,
un+1 - un > 0 ,
donc la suite (un) est strictement
croissante.
4. En déduire la valeur de l’entier n tel
que les événements A et B soient indépendants. (1 point)
Par le cours, on sait que A et B sont indépendants
si et seulement si P(A Ç B) = P(A).P(B) .
On a montré à la question 2. que P(A Ç B) = P(A).P(B) si et seulement si 2n-1
= n+1 .
donc A et B sont indépendants si et seulement
si 2n-1 = n+1 ,
donc A et B sont indépendants si et seulement
si un = 0 .
On a montré à la question précédente que u3
= 0, donc 2n - 1 = n + 1 pour n = 3.
Comme (un) est strictement croissante, on
en déduit que si n > 3, alors un > 0 et u2 < 0
donc un = 0 s'annule si, et seulement si, n = 3,
donc les événements A et B sont indépendants si, et
seulement si, on effectue trois prélèvements successifs d’une boule dans
l’urne.
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