School Angels

Bac S 1999 Paris (Juin 99)

Exercice 2 (4 points) Corrigé

Dans cet exercice, n est un entier naturel non nul. On considère la suite (u_n) définie par :

1. a. Soit j la fonction définie sur [0; 2] par j(t) = (2t + 3) / (t + 2).

Étudier les variations de j sur [0; 2] . En déduire que, pour tout réel t dans [0; 2] , 3/2 £ j (t) £ 7/4 . (0,25 point ; 0,25 point)

1. b. Montrer que, pour tout réel t dans [0 ; 2], on a 3/2 e^t/n £ j(t) e^t/n £ 7/4 e^t/n. (0,5 point)

1. c. Par intégration, en déduire que : (0,5 point)

1. d. On rappelle que lim _h_®₀ (e^h-1)/h = 0. Montrer que, si (u_n) possède une limite L, alors 3 £ L £ 7/2 . (0,5 point)

2. a. Vérifier que, pour tout t dans [0 ; 2], on a : (0,5 point)

En déduire l’intégrale : (0,5 point)

2. b. Montrer que, pour tout t dans [0; 2], on a 1 £ e^t/n £ e^2/n .

En déduire que I £ u_n £ e^2/n . (0,5 point)

2. c. Montrer que (u_n) est convergente et déterminer sa limite L. (0,5 point)