Bac S 1999 Inde (Juin 99)
Problème (11 points) Corrigé
Soit la fonction numérique f définie sur ]0 ; +¥[ par
Partie A : Recherche graphique d’un extremum
L’observation de la courbe représentative de la
fonction f sur l’écran graphique d’une calculatrice donne à penser que f admet un
minimum sur l’intervalle [0,5 ; 2].
On se propose d’en donner une valeur approchée.
Observer ci-dessous la représentation graphique de
la fonction f ’ , dérivée de f , sur l’intervalle [0,5 ; 2].
Quels sont les éléments graphiques concernant f ’ qui
vont dans le sens de l’existence d’un minimum de f sur [0,5 ; 2] ? (0,5 point)
À l’aide de ce graphique, donner un encadrement
d’amplitude 0,2 de l’abscisse de ce minimum. (0,25 point)
Partie B : Étude de la fonction f
On considère la fonction h définie sur [0 ; +¥[ par h(x) = xex - 2ex + 2 .
1. Déterminer les variations de h (on précisera h(0)
mais la limite en +¥ n’est pas demandée). (0,5 point)
2. Déterminer le signe de h(3/2) . (0,25 point)
En déduire qu’il existe un unique réel a appartenant
à l’intervalle [3/2 ; 2] tel que
h(a) = 0 . (0,5
point)
En déduire le signe de h sur [0 ; +¥[ . (0,5 point)
3. Étude de la fonction f
3. a. Calculer les limites de f aux bornes de
l’intervalle ]0 ; +¥[. (1
point)
3. b. Montrer que, pour tout nombre x strictement
positif : (0,5 point)
En déduire le sens de variation de f et dresser son
tableau de variation. (1 point)
3. c. Montrer que f(a) = -1/[a(a-2)] et en déduire le signe de f(a) . (0,5 point ; 0,5 point)
Partie C : Recherche d’un encadrement de la valeur a
1. Démontrer que, sur [0 ; + ¥[ , l’équation
h(x) = 0 équivaut à 2(1-e-x) = x . (0,5 point)
2. Soit la fonction g définie sur [0 ; + ¥[ par g(x) = 2(1-e-x) . On pose I = [3/2 ; 2] .
Montrer que, pour tout x de l’intervalle I , |g'(x)| £ 1/2 . (0,5 point)
3. Soit la suite (xn)n > 1
définie pour tout entier n ³ 1 par :
On admet que, pour tout entier n supérieur ou égal à
1 , xn appartient à I.
3. a. Démontrer que, pour tout entier n supérieur ou égal
à 1 : (1 point)
En déduire que la suite (xn) converge vers a. (0,5 point)
3. b. Déterminer un entier p tel que xp soit une valeur approchée à
10-3 près du nombre réel a .
(0,5 point)
Donner une valeur approchée de xp avec trois décimales. (0,5 point)
Partie D : Quelques propriétés d’une primitive de f
On appelle F la primitive de f sur ]0 ; +¥[ qui s’annule en 1. Ainsi
l’on a, pour tout réel x de ]0 ; +¥[ :
.
1. Étudier le sens de variation de F sur ]0 ; +¥[ . (0,5 point)
2. Démontrer que, pour tout x supérieur ou égal à 2
: (0,5 point)
.
Par comparaison de limites, et en utilisant la
relation de Chasles, en déduire lim x®+¥ F(x) . (0,5 point)
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