School Angels

Bac S 1999 Amérique du Nord (Juin 99)

Problème (11 points) Corrigé

On considère la fonction numérique f définie sur ]-¥ ; 1[ par :

On désigne par (G) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( O ; i , j ) l’unité graphique étant 2 cm.

Partie I

1. a. Soit X = 2 / (x-1) . Prouver l’égalité :

En déduire la limite de f quand x tend vers 1. (0,5 point)

1. b. Déterminer la limite de f en -¥ . (1 point)

1. c. En déduire une asymptote à la courbe (G) . (0,5 point)

2. a. Soit v la fonction numérique définie sur ]-¥ ; 1[ par :

Calculer v ’(x). (0,5 point)

2. b. Démontrer que : (1 point)

3. Étudier les variations de f. (0,5 point)

4. Tracer la courbe (G). (1 point)

Partie II

1. Déterminer une primitive de f sur ]-¥ ; 1[. (0,5 point)

2. Soit a réel tel que 0 < a < 1 , déterminer : (1 point)

3. Quelle est la limite de g(a) quand a tend vers 1 ? (0,5 point)

4. Quelle est l’aire en cm² du domaine limité par la courbe de f , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = -a et x = a ? (1,5 point)

Partie III

1. a. Démontrer que l’équation f(x) = 1/2 a deux solutions dont l’une est - 1 . On notera b l’autre solution. (1 point)

1. b. Donner un encadrement de largeur 10^- 2 de b . (0,5 point)

2. Soit a un élément de ]-¥ ; 1[ .

Déterminer graphiquement, en fonction de a , le nombre de solutions de l’équation f(x) = f(a) . (1 point)