Correction du sujet :                  Bac S 1999     Amérique du Nord (Juin 99)

                                               Problème  (11 points)                                               Enoncé

 

Partie I :         1. a.     1. b.     1. c.     2. a.     2. b.     3.         4.

Partie II :        1.         2.         3.         4.

Partie III :      1. a.     1. b.     2.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

On considère la fonction numérique f définie sur   ]-¥ ; 1[   par :

 

On désigne par (G) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal   (O;i,j) l’unité graphique étant 2 cm.

 

Partie I

1. a. Soit X = 2/(x-1)  . Prouver l’égalité :

 

En déduire la limite de f quand x tend vers 1.  (0,5 point)

 

Tout d'abord, vérifions que f est bien définie sur l'ensemble de définition donné.

 

Pour que f soit définie, comme la fonction exponentielle est définie sur  , il faut et il suffit que   x-1¹0   (dénominateur des fractions non nul !),

c'est à dire x différent de 1,

 

donc f est bien définie sur   ]-¥ ; 1[ .

 

Maintenant que nous vérifié la pertinence de l'ensemble de définition donné, répondons à la première question.

Dans l'expression donnée, faisons apparaître l'expression  2 / (x-1)  puis remplaçons la par X :

 

           

 

Or e1+X = e.eX  , d'où, pour tout x de ]-¥ ; 1[ , on a :

 

Calcul de la limite de f pour x ® 1- :

 

Par le changement de variables   X = 2 / (x-1) , on a que quand   x tend vers 1- , X tend vers - ¥.

 

Pour calculer la limite de f en  1- , nous allons donc calculer   lim  X® - ¥ (e/2).X²eX   .   (car f(x) = (e/2).X²eX   , cf. ci-dessus)

 

On a :

 

donc lim  X® + ¥ (e/2).X²eX = +¥  ,

 

donc   lim  x ® 1- f(x) = +¥ . 

 

 

1. b. Déterminer la limite de f en  -¥ . (1 point)

 

Nous avons, grâce à une factorisation :

 

donc   lim  x ® -¥ (x+1)/(x-1) = 1 ,

 

donc   lim x ® -¥ e(x+1)/(x-1) = e  .

 

D'autre part, on a   lim  x ® -¥ 2/(x-1) = 0  ,

 

donc   lim  x®-¥ f(x) = 0 .

 

 

1. c. En déduire une asymptote à la courbe (G) . (0,5 point)

 

Nous venons de prouver que    lim  x ® -¥ f(x) = 0  ,

 

et nous en déduisons que la droite d’équation y = 0 est asymptote à la courbe représentative de f au voisinage de -¥ .

 

 

2. a. Soit v la fonction numérique définie sur ]-¥ ; 1[ par :

Calculer v ’(x). (0,5 point)

 

Cette fonction est dérivable sur ]-¥ ; 1[ en tant que composée de deux fonctions :

 

On sait que

 

donc pour tout réel x de ]-¥ ; 1[ , on a :

 

 

2. b. Démontrer que : (1 point)

 

En posant u(x)= 2 / (x-1)²  , on a    f = u.v  .  (cf. définition de la fonction v à la question précédente).

 

Montrons que la fonction u qui à x associe   2/(x-1)² , pour tout x de ]-¥ ; 1[  est dérivable sur son intervalle de définition.

 

Elle est la composée de la fonction qui à y associe  1/y  et de la fonction qui à x associe (x-1)²/2 .

 

Par le cours, la première fonction est dérivable pour   y ¹ 0   et la seconde fonction est dérivable sur  en tant que polynôme réel,

 

donc u est dérivable pour     (x-1)²/2 ¹ 0 , c'est-à-dire x ¹ 1 ,

 

donc u est bien dérivable pour tout x de ]-¥ ; 1[ .

 

On dérive u en appliquant la formule de la dérivé d'une fonction au carré : (1/g²)' = -2.g'.(1/g3)  , donc :

 

Comme on a f = u.v  , on a alors f ' = u'v + uv' , d'où, pour tout x de ]-¥ ; 1[  :

 

 

 

 

 

3. Étudier les variations de f. (0,5 point)

 

Le signe de f '(x) est celui de - 4x. Nous avons alors :

 

donc f est strictement croissante sur ]-¥ ; 0[ et strictement décroissante sur ]0 ; 1[ .

 

 

4. Tracer la courbe (G). (1 point)

 

A l'aide des résultats obtenus aux questions précédentes (limites, asymptote, variations, dérivée, …), nous obtenons ce graphe de la fonction (G) :

 

 

 

 

Partie II

1. Déterminer une primitive de f sur ]-¥ ; 1[. (0,5 point)

 

D’après le résultat de la question  I  2. a. , nous savons que la dérivée de la fonction v est :

donc pour tout x de ]-¥ ; 1[ , on a    f(x) = -v'(x)  ,

 

donc une primitive de f sur l’intervalle ]-¥ ; 1[ est la fonction   -v(x) + c   , c étant une constante :

 

 

2. Soit a réel tel que 0 < a < 1, déterminer : (1 point)

 

A la question précédente, nous avons obtenu l'expression d'une primitive F de f , donc pour tout a vérifiant 0 < a < 1, on a :

 

 

 

3. Quelle est la limite de g(a) quand a tend vers 1 ? (0,5 point)

 

Pour a dans ]-¥ ; 1[ , on a :

 

donc    lim a®1- g(a) = 1 .

 

 

4. Quelle est l’aire en cm2 du domaine limité par la courbe de f  , l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives    x = -a   et   x = a   ? (1,5 point)

 

Sur l’intervalle [- a ; a], f est positive donc l’aire cherchée (en unités d’aire) est donnée par :

 

L’unité d'aire étant égale à 4 cm2, nous obtenons   A = 4 g(a)

 

D’où :

 

 

 

Partie III

1. a. Démontrer que l’équation   f(x) = 1/2   a deux solutions dont l’une est - 1 . On notera b l’autre solution. (1 point)

 

A partir des résultats de la question I. 3. , construisons le tableau de variation de f :

 

 

On a pour f les propriétés suivantes :

 

donc, par le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation  f(x) = 1/2  admet deux solutions et seulement deux : l'une sur ]-¥ ; 0[  et l'autre sur ]0 ; 1[ .

Comme f(-1) = 1/2 , nous avons donc que  x = -1  est l'une de ces deux solutions.

Conformément à l'énoncé, nous notons b l'autre solution.

 

 

1. b. Donner un encadrement de largeur 10- 2 de b . (0,5 point)

 

D’après la question précédente, cette solution b appartient à l’intervalle ]0 ; 1[  .

En utilisant la calculatrice, nous obtenons l'encadrement suivant :

0,43 < b < 0,44 .

On a bien 0,44 - 0,43 = 0,01 = 10-2 .

 

 

2. Soit a un élément de ]-¥; 1[ .

Déterminer graphiquement, en fonction de a , le nombre de solutions de l’équation    f (x) = f (a) . (1 point)

 

Pour a appartenant à ]-¥ ; 1[, nous avons, d’après l’étude de f  :  0 < f (a) < 2/e  .

 

 

 

Traçons la droite (D) d’équation y = f (a) et l’on détermine le nombre de points d’intersection de (D) et (G) :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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