School Angels

Bac S 1999 Antilles - Guyane (Juin 99)

Problème (10 points) Corrigé

L’objet de ce problème est d’étudier une fonction à l’aide d’une fonction auxiliaire et de calculer l’aire d’un domaine plan.

Partie A :

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]-1 ; +¥[ par :

1. Calculer f ’(x) , étudier son signe et en déduire le tableau de variation de la fonction f . (0,5 point ; 0,5 point ; 0,5 point)

2. Calculer f(0) . Montrer que l’équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions dont l’une, que l’on désigne par a, appartient à [-0,72 ; -0,71]. (1 point)

3. Donner le signe de f (x), pour x appartenant à ]-1 ; +¥[. (0,5 point)

Partie B :

Soit g la fonction définie sur l’ensemble ]-1 ; 0[ U ]0 ; +¥[ par :

1. Étude de g aux bornes de son ensemble de définition

1. a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers 0 par valeurs inférieures et quand x tend vers 0 par valeurs supérieures. (0,5 point; 0,5 point)

1. b. Calculer lim _x_®_-1 g(x) et lim _x_®₊_¥ g(x) . (0,5 point ; 0,5 point)

2. Sens de variation de g

2. a. Calculer g¢(x) et déduire, à l’aide de la partie A, son signe. (0,5 point ; 0,5 point)

2. b. Montrer que g(a) = 1/[2a(2a+1)] . En déduire une valeur approchée de g(a) en prenant a = - 0,715. (0,5 point ; 0,5 point)

3. Tableau de variation et représentation graphique de g

3. a. Dresser le tableau de variation de la fonction g. (0,5 point)

3. b. Représenter graphiquement la fonction g dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 2 cm). (0,5 point)

4. Calcul d’aire

Soit a un réel strictement supérieur à 0. On pose :

4. a. Donner, suivant les valeurs de a, une interprétation géométrique du réel I (a). (0,5 point)

4. b. En remarquant que, pour x appartenant à ]0 ; +¥[ :

Calculer I(a) à l’aide d’une intégration par parties. (1,5 point)

4. c. Calculer lim _a_®₊_¥ I(a) et lim _a_®₀ I(a) .