Correction du sujet :      Bac S 1999  Antilles - Guyane (Juin 99)

                                   Problème  (10 points)                                                           Enoncé

 

Partie A :        1.         2.         3.

Partie B :        1. a.     1. b.     2. a.     2. b.     3. a.     3. b.     4. a.     4. b.     4. c.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

L’objet de ce problème est d’étudier une fonction à l’aide d’une fonction auxiliaire et de calculer l’aire d’un domaine plan.

 

Partie A :

 

Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]-1 ; +¥[ par :

 

 

1. Calculer f ’(x) , étudier son signe et en déduire le tableau de variation de la fonction f . (0,5 point ; 0,5 point ; 0,5 point)

 

La fonction  f  est la somme :

 

donc f est dérivable sur ]-1; +¥[ ,

 

donc f est dérivable sur ]-1 ; +¥[ , ensemble de définition de la fonction f .

 

Pour tout x de ]-1 ; +¥[ , on a :

 

d'où, pour tout x de ]-1 ; +¥[ :

 

Sur  ]-1 ; +¥[ ,  f ’(x) s’annule pour  x = -1/2 ,  et son signe est celui de   - 2x - 1  (car  (x +1)2  est toujours positif) , donc :

 

d'où :

 

On déduit de ces résultats le tableau de variations de f :

 

 

 

 

2. Calculer f (0) . Montrer que l’équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions dont l’une, que l’on désigne par a, appartient à [-0,72 ; -0,71]. (1 point)

 

On a f(0) = 0 .

 

f est strictement décroissante sur ]-1/2 ; +¥ [  et f(0) = 0 ,

 

donc l’équation f (x) = 0 admet pour solution unique 0 sur ]-1/2 ; +¥[  .

 

Sur l’intervalle ]-1 ; -1/2 [ , f est strictement croissante et on a f(-1/2) > 0 ,

 

donc l’équation f(x) = 0 admet donc au plus une solution a dans l’intervalle ]-1 ; -1/2[ .

 

Intéressons nous à l'intervalle donné par l'énoncé (qui est inclus dans ]-1 ; -1/2[ ).

 

On a :

 

donc     f (- 0,72) < 0 < f (- 0,71)  .

 

donc l’équation f (x) = 0 admet une solution unique a dans l’intervalle [- 0,72 ; 0,71] .

 

 

3. Donner le signe de f(x), pour x appartenant à ]-1 ; +¥[ . (0,5 point)

 

Avec les résultats de la question précédente, nous pouvons compléter le tableau de variations :

 

 

 

Nous avons donc :

 

 

Partie B :

 

Soit g la fonction définie sur l’ensemble  ]-1 ; 0[ U ]0 ; +¥[  par  :

 

1. Étude de g aux bornes de son ensemble de définition

1. a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers 0 par valeurs inférieures et quand x tend vers 0 par valeurs supérieures. (0,5 point; 0,5 point)

 

Quand x tend vers 0 par valeurs inférieures :

 

On a

 

donc, d'après les théorèmes algébriques de calcul de limite, on a

 

lim x®0- g(x)  = -¥  .

 

Quand x tend vers 0 par valeurs supérieures :

 

On a

 

donc, d'après les théorèmes algébriques de calcul de limite, on a

 

lim x®0+ g(x)  = +¥  .

 

Remarque :

 

On peut tout de suite en déduire que l’axe (Oy) est asymptote à la courbe (G).

 

 

1. b. Calculer   lim x®-1 g(x)   et    lim x®+¥ g(x)  . (0,5 point ; 0,5 point)

 

On a :

donc, d'après les théorèmes algébriques de calcul de limite, on a

 

lim x®-1+ g(x)  = -¥  .

 

Pour calculer la limite de g en +¥, nous allons tout d'abord effectuer une petite transformation :  (x différent de 0 et 1, ce qui est bien le cas en +¥ !!)

 

 

Par le cours, on a    lim x®+¥ (ln X)/X = 0 , donc :

 

Toujours par le cours, en appliquant la méthode de calcul des limites des fractions rationnelles, on a :

 

On conclut par les théorèmes algébriques de calcul de limite (ici, la multiplication), et on obtient :

 

lim x®+¥ g(x) = 0  .

 

Remarque :

 

On peut tout de suite en déduire que :

·         la droite d’équation  x = -1  est asymptote à (G)

·         l’axe (Ox) est asymptote à la courbe (G) au voisinage de +¥ .

 

 

 

2. Sens de variation de g

2. a. Calculer g’(x) et déduire, à l’aide de la Partie A , son signe. (0,5 point ; 0,5 point)

 

Pour calculer la dérivée de la fonction g , on pose g(x) = u(x)/v(x)  avec :

 

Par le cours, on sait que (u/v)'= (u'v-uv')/v2   ,

 

d'où, pour tout x de ]-1 ; 0[ U ]0 ; +¥[ , on a :

 

 

 

On remarque alors tout de suite que   g'(x) = f(x) / x3  , ce qui va nous permettre de déterminer le signe de g'(x) de celui de f(x) .

 

À l’aide des résultats sur le signe de f obtenus à la question A. 3.  , nous pouvons construire le tableau de signe suivant :

 

 

 

2. b. Montrer que  g(a) = 1/[2a(2a+1)] . En déduire une valeur approchée de g(a) en prenant a = - 0,715 .  (0,5 point ; 0,5 point)

 

On a :

 

Or, par définition de a (racine de la fonction f ) , on a  f(a) = 0  , d'où :

 

 

 

Avec a = -0,715 , on obtient :   g(a) = -2,455 .

 

 

3. Tableau de variation et représentation graphique de g

3. a. Dresser le tableau de variation de la fonction g. (0,5 point)

 

D’après le tableau de signe de g'(x), on peut déduire les variations de g :

 

 

 

 

3. b. Représenter graphiquement la fonction g dans le plan rapporté à un repère orthonormal   (unité graphique : 2 cm). (0,5 point)

 

 

 

4. Calcul d’aire

Soit a un réel strictement supérieur à 0. On pose :

 

4. a. Donner, suivant les valeurs de a, une interprétation géométrique du réel I (a). (0,5 point)

 

 

 

 

 

 

 

4. b. En remarquant que, pour x appartenant à ]0 ; +¥[ :

Calculer I(a) à l’aide d’une intégration par parties. (1,5 point)

 

Tout d'abord, on vérifie facilement l'expression donnée en réduisant au même dénominateur le terme de droite :

 

Calculons maintenant I(a) à l’aide d’une intégration par parties. On pose :

 

On peut alors intégrer :

 

On a d'autre part :

 

d'où  :

 

 

4. c. Calculer   lim a®+¥ I(a)   et   lim a®0+ I(a)  .

 

Nous avons :

 

donc  lim a®+¥ I(a) = 2 ln2 .

 

D'autre part, nous avons :

 

donc  lim a®0+ I(a) = -¥ .

 

 

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