Correction du sujet : Bac S 1999 Antilles -
Guyane (Juin 99)
Problème (10 points) Enoncé
Partie B : 1. a. 1. b. 2. a. 2. b. 3. a. 3. b. 4. a. 4. b. 4. c.
Ce sujet nécessite de connaître les points suivants
du cours :
L’objet de ce problème est d’étudier une
fonction à l’aide d’une fonction auxiliaire et de calculer l’aire d’un domaine
plan.
Partie A :
Soit f la fonction définie sur l’intervalle
]-1 ; +¥[ par :
1. Calculer f ’(x) , étudier son
signe et en déduire le tableau de variation de la fonction f . (0,5 point ; 0,5
point ; 0,5 point)
La fonction
f est la somme :
donc f est dérivable sur ]-1; +¥[ ,
donc f est dérivable sur ]-1 ; +¥[ , ensemble de définition
de la fonction f .
Pour tout x de ]-1 ; +¥[ , on a :
d'où, pour tout x de ]-1 ; +¥[ :
Sur ]-1 ; +¥[ , f
’(x) s’annule pour x = -1/2 , et son signe est celui de - 2x - 1
(car (x +1)2 est toujours positif) , donc :
d'où :
On déduit de ces résultats le tableau de variations
de f :
2. Calculer f (0) . Montrer que
l’équation f(x) = 0 admet exactement deux solutions dont l’une, que l’on
désigne par a, appartient à [-0,72 ; -0,71]. (1 point)
On a
f(0) = 0 .
f est strictement décroissante sur ]-1/2 ; +¥ [ et
f(0) = 0 ,
donc l’équation f (x) = 0 admet pour solution unique
0 sur ]-1/2 ; +¥[ .
Sur l’intervalle ]-1 ; -1/2 [ , f est strictement
croissante et on a f(-1/2) > 0 ,
donc l’équation f(x) = 0 admet donc au plus une
solution a dans l’intervalle ]-1 ; -1/2[ .
Intéressons nous à l'intervalle donné par l'énoncé
(qui est inclus dans ]-1 ; -1/2[ ).
On a
:
donc f (-
0,72) < 0 < f (- 0,71) .
donc l’équation f (x) = 0 admet une solution unique a dans l’intervalle [- 0,72 ; 0,71] .
3. Donner le signe de f(x), pour x
appartenant à ]-1 ; +¥[ . (0,5 point)
Avec les résultats de la question précédente, nous
pouvons compléter le tableau de variations :
Nous avons donc :
Partie B :
Soit g la fonction définie sur
l’ensemble ]-1 ; 0[ U ]0 ; +¥[ par :
1. Étude de g aux bornes de son ensemble
de définition
1. a. Calculer les limites de g(x) quand x
tend vers 0 par valeurs inférieures et quand x tend vers 0 par valeurs
supérieures. (0,5 point; 0,5 point)
Quand x tend vers 0 par valeurs inférieures :
On a
donc, d'après les théorèmes algébriques de calcul de
limite, on a
lim x®0- g(x) = -¥ .
Quand x tend vers 0 par valeurs supérieures :
On a
donc, d'après les théorèmes algébriques de calcul de
limite, on a
lim x®0+ g(x) = +¥ .
Remarque :
On peut tout de suite en
déduire que l’axe (Oy) est asymptote à la courbe (G).
1. b. Calculer lim x®-1 g(x) et
lim x®+¥ g(x) . (0,5 point ; 0,5 point)
On a :
donc, d'après les théorèmes algébriques de calcul de
limite, on a
lim x®-1+ g(x) = -¥ .
Pour calculer la limite de g en +¥, nous allons tout d'abord effectuer une
petite transformation : (x différent de
0 et 1, ce qui est bien le cas en +¥ !!)
Par le cours, on a lim x®+¥ (ln X)/X = 0 , donc :
Toujours par le cours, en appliquant la méthode de
calcul des limites des fractions rationnelles, on a :
On conclut par les théorèmes algébriques de calcul
de limite (ici, la multiplication), et on obtient :
lim x®+¥ g(x) = 0 .
Remarque :
On peut tout de suite en
déduire que :
·
la droite d’équation x =
-1 est asymptote à (G)
·
l’axe (Ox) est asymptote à la courbe (G) au voisinage de +¥ .
2. Sens de variation de g
2. a. Calculer g’(x) et déduire, à l’aide
de la Partie A , son signe. (0,5 point ; 0,5 point)
Pour calculer la dérivée de la fonction g , on pose
g(x) = u(x)/v(x) avec :
Par le cours, on sait que (u/v)'= (u'v-uv')/v2 ,
d'où, pour tout x de ]-1 ; 0[ U ]0 ; +¥[ , on a :
On remarque alors tout de suite que g'(x) = f(x) / x3 , ce qui va nous permettre de déterminer le
signe de g'(x) de celui de f(x) .
À l’aide des résultats sur le signe de f obtenus à
la question A. 3. , nous pouvons
construire le tableau de signe suivant :
2. b. Montrer que g(a) = 1/[2a(2a+1)] . En déduire une valeur approchée de g(a) en prenant a = - 0,715 . (0,5 point ; 0,5 point)
On a :
Or, par définition de a (racine de la fonction f )
, on a f(a) = 0 , d'où :
Avec a = -0,715 , on obtient
: g(a) = -2,455 .
3. Tableau de variation et représentation
graphique de g
3. a. Dresser le tableau de variation de
la fonction g. (0,5 point)
D’après le tableau de signe de g'(x), on peut
déduire les variations de g :
3. b. Représenter graphiquement la
fonction g dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 2 cm). (0,5 point)
4. Calcul d’aire
Soit a un réel strictement supérieur à 0.
On pose :
4. a. Donner, suivant les valeurs de a,
une interprétation géométrique du réel I (a). (0,5 point)
4. b. En remarquant que, pour x
appartenant à ]0 ; +¥[ :
Calculer I(a) à l’aide d’une intégration
par parties. (1,5 point)
Tout d'abord, on vérifie facilement l'expression
donnée en réduisant au même dénominateur le terme de droite :
Calculons maintenant I(a) à l’aide d’une intégration
par parties. On pose :
On peut alors intégrer :
On a d'autre part :
d'où :
4. c. Calculer lim a®+¥ I(a) et
lim a®0+ I(a) .
Nous avons :
donc lim a®+¥ I(a) = 2 ln2 .
D'autre part, nous avons :
donc lim a®0+ I(a) = -¥ .
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