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Correction du sujet : Bac S 1999 Maroc (Juin 99)

Exercice 2 (5 points) SPECIALITE Énoncé

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

algorithme d’Euclide
théorème de Gauss
géométrie dans l’espace

Le but de cet exercice est d’utiliser les solutions d’une équation à deux inconnues entières pour résoudre un problème dans l’espace.

1. a. Déterminer un couple (x₀ ; y₀) d’entiers relatifs solutions de l’équation :

48x + 35y = 1

(On pourra utiliser l’algorithme d’Euclide pour la recherche du PGCD de deux nombres). (0,5 point)

Remarque : 48 et 35 étant premiers entre eux, par le théorème de Bezout, on sait qu'il existe des solutions à l'équations 48x + 35y = 1 .

Comme le suggère l'énoncé, utilisons l’algorithme d’Euclide pour trouver une solution particulière de cette équation.

On a :

48 = 35 ´ 1 + 13 13 = 9 ´ 1 + 4

35 = 13 ´ 2 + 9 9 = 4 ´ 2 +1.

On a alors :

1 = 9 - 2´4

= 9 - 2´[13 - 1´9]

= 9 - 2´13 - 2´9

= -2´13 + 3´9

= -2´13 + 3´[35 - 2´13]

= -2´13 + 3´35 - 6´13

= 3´35 - 8´13

= 3´35 - 8´[48 - 1´35]

= 3´35 - 8´48 + 8´35

= 11´35 - 8´48

donc 1 = 48 ´ (- 8) + 35 ´ 11 .

donc le couple (x₀ ; y₀) égal à (- 8 ; 11) est une solution particulière de l’équation 48x + 35y = 1 .

1. b. Déduire de 1. a. tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) solutions de cette équation. (1 point)

Par la question 1. a. , on a :

En effectuant la soustraction membre à membre, de ces deux équations, on obtient :

48x + 35y = 1 ó 48 ´ (x+8) + 35 ´ (y-11) = 0 ó 48 ´ (x+8) = 35 ´ (11-y) (1)

48 divise 48 ´ (x+8) donc 48 divise aussi 35 ´ (11 - y) .

Comme 48 est premier avec 35, on sait par le théorème de Gauss qu'il existe un entier relatif k tel que 11 - y = 48k ,

donc y = 11 - 48k .

En reportant dans (1), on obtient alors :

(1) ó 48 ´ (x+8) = 35 ´ [11-(11-48k)]

ó 48 ´ (x+8) = 35 ´ [11-11+48k]

ó 48 ´ (x+8) = 35 ´ [48k]

ó x+8 = 35k

ó x = -8 + 35k

donc les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation 48x + 35y = 1 sont de la forme (-8 + 35k ; 11 - 48k) avec k entier relatif.

2. L’espace étant rapporté à un repère orthonormal, on donne le vecteur de coordonnées (48;35;24) et le point A de coordonnées (-11;35;-13) .

2. a. Préciser la nature et donner une équation cartésienne de l’ensemble (P) des points M de l’espace, de coordonnées (x;y;z) tels que . (1 point)

M appartient à () si, et seulement si .

Or, en appelant (x,y,z) les coordonnées du point M , on a :

donc le produit scalaire de ces deux vecteurs vaut zéro, si et seulement si :

48(x+11) + 35(y-35) + 24(z+13) = 0 ó 48x + 35y + 24z - 385 = 0 .

donc () est le plan dont une équation cartésienne est 48x + 35y + 24z - 385 = 0 .

2. b. Soit (D) la droite intersection de (P) avec le plan d’équation z = 16 .

Déterminer tous les points de (D) dont les coordonnées sont entières et appartiennent à l’intervalle [-100 ; 100]. (1,5 point)

En déduire les coordonnées du point de (D), à coordonnées entières, situé le plus près de l’origine. (1 point)

La droite (D) étant l'intersection du plan (P) avec le plan d'équation z = 16, elle est définie par le système:

d'où : 48x + 35y = 1.

A partir des résultats obtenus à la question 1. b., on sait que les coordonnées du point M sont de la forme :

M_k (-8+35k ; 11-48k ; 16) avec k entier relatif.

Les valeurs de k qui conviennent sont donc { -1 ; 0 ; 1 ; 2 } .

donc les points de (D) à coordonnées entières et appartenant à l’intervalle [-100 ; 100] sont ceux de coordonnées :

M_-1 (- 43 , 59 , 16)
M₀ (- 8 , 11 , 6)
M₁ (27 , - 37 , 16)
M₂ (62 , - 85 , 16) .

La distance de M à l'origine O s'écrit :

et on a immédiatement (on le voit sans calcul) que le point de la droite (D), à coordonnées entières et le plus proche de O, est :

M₀ (- 8 , 11 , 6) .