Correction du sujet : Bac S 1999 Maroc (Juin 99)

Exercice 1 (4 points) Énoncé

1. a. 1. b. 2. a. 2. b. 2. c.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

• probabilités
• loi de probabilité
• espérance mathématique

Une urne U₁ contient 2 jetons numérotés 1 et 2. Une urne U₂ contient 4 jetons numérotés 1, 2, 3 et 4.

On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette urne. (Les choix sont supposés équiprobables).

1. a. Quelle est la probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1 ? (0,5 point)

Soient U₁, U₂, E_i où i est un entier naturel compris entre 1 et 4, les événements :

• U₁ : “ On a tiré un jeton dans l’urne U₁ ” ;
• U₂ : “ On a tiré un jeton dans l’urne U₂ ” ;
• E_i : “ On a tiré un jeton portant le numéro i ”.

" Tirer un jeton portant le numéro 1 " est l’événement E₁.

Puisque l’on choisit tout d’abord au hasard une des urnes U₁ et U₂ on peut affirmer que les évènements U₁ et U₂ forment une partition de l’univers considéré (en effet, soit on tire dans l'une, soit on tire dans l'autre, jamais les deux en même temps).

Par la formule des probabilités totales on alors :

P(E₁) = P(E₁ÇU₁) + P(E₁ÇU₂) = P(E₁/U₁).P(U₁) + P(E₁/U₂).P(U₂) .

D’autre part :

• les choix étant supposés équiprobables, nous avons P(U₁) = 1/2 et P(U₂) = 1/2 .
• l’urne U₁ contenant 2 jetons dont un seul est numéroté 1, nous avons : P(E₁/U₁) = 1/2 .
• l’urne U₂ contenant 4 jetons dont un seul est numéroté 1, nous avons : P(E₁/U₂) = 1/4 .

donc il s’ensuit que : P(E₁) = (1/2)(1/2) + (1/4)(1/2)

d'où P(E₁) = 3/8 .

La probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1 est égale à 3/8 .

1. b. On a tiré un jeton portant le numéro 1. Quelle est la probabilité qu’il provienne de l’urne U₁ ? (0,5 point)

Le jeton tiré porte le numéro 1. La probabilité pour qu’il vienne de l’urne U₁ est P(U₁/E₁). On a :

La probabilité qu’un jeton portant le numéro 1 provienne de l’urne U₁ est égale à 2/3 .

2. On rassemble maintenant les deux urnes en une seule, qui contient donc les 6 jetons précédents. On tire simultanément et au hasard 2 jetons de cette urne. Les tirages sont supposés équiprobables.

2. a. Calculer la probabilité de tirer 2 jetons identiques. (0,5 point)

Le nombre total de tirages distincts est :

Pour tirer deux jetons identiques il faut :

• soit tirer les deux jetons 1 (probabilité de 1/15, car il n'y a qu'une combinaison possible parmi les 15 couples de tirages) ;
• soit tirer les deux jetons portant le numéro 2 (probabilité de 1/15, …) .

Les deux événements précédents étant incompatibles (si on tire deux jetons 1, il est impossible de tirer deux jetons 2 !), on en déduit que la probabilité P de tirer deux jetons identiques est :

P = 1/15 + 1/15 = 2/15 .

La probabilité de tirer deux jetons identiques est égale à 2/15 .

2. b. Soit S la variable aléatoire, qui, à chaque tirage, associe la somme des numéros des 2 jetons tirés. Déterminer la loi de probabilité de S. (1,5 point)

Les valeurs prises par S sont : {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7} .

Calculons la probabilité que S prenne chacune de ces valeurs.

• S = 2 :

Cette valeur est obtenue quand on tire les deux jetons 1, donc :

P(S=2) = 1/15 . (cf question précédente)

• S = 3 :

Cette valeur est obtenue quand on tire un jeton 1 (deux possibilités) et un jeton 2 (deux possibilités), donc :

P(S=3) = (2/15).(2/15) = 4/15 .

• S = 4 :

Cette valeur est obtenue quand

· on tire un jeton 1 (deux possibilités) et le jeton 3 (une seule possibilité), événement de probabilité (2/15).(1/15) = 2/15

· on tire les deux jetons 2, événement de probabilité (1/15).(1/15) = 1/15

Ces deux évènements étant incompatibles, on a :

P(S=4) = 2/15 + 1/15 = 3/15 = 1/5 .

• S = 5 :

Cette valeur est obtenue quand

· on tire un jeton 1 (deux possibilités) et le jeton 4 (une seule possibilité), événement de probabilité (2/15).(1/15) = 2/15

· on tire un jeton 2 (deux possibilités) et le jeton 3 (une seule possibilité), événement de probabilité (2/15).(1/15) = 2/15

Ces deux évènements étant incompatibles, on a :

P(S=5) = 2/15 + 2/15 = 4/15 .

• S = 6 :

Cette valeur est obtenue quand on tire un jeton 2 (deux possibilités) et le jeton 4 (une seule possibilité), événement de probabilité (2/15).(1/15) = 2/15 , donc

P(S=6) = 2/15 .

• S = 7 :

Cette valeur est obtenue quand on tire le jeton 3 (une seule possibilités) et le jeton 4 (une seule possibilité), événement de probabilité (1/15).(1/15) = 1/15 , donc

P(S=7) = 1/15 .

On en déduit la loi de probabilité de S :

n	2	3	4	5	6	7
p(S = n)	1/15	4/15	1/15	4/15	2/15	1/15

On vérifie bien que la somme des probabilités est égale à 1 !

2. c. Deux joueurs, Claude et Dominique, décident que si la somme des numéros tirés est impaire, Claude donne 10 euros à Dominique et que, dans le cas contraire, Claude reçoit l euros de Dominique.

On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain algébrique de Claude. Calculer l’espérance mathématique de X en fonction de l, puis déterminer l pour que le jeu soit équitable (c’est-à-dire pour que E(X) soit égale à 0). (2 points)

La probabilité P' que la somme des numéros soit impaire est

P' = P(S = 3) + P(S = 5) + P(S = 7) = 4/15 + 4/15 + 1/15 = 3/5 .

La probabilité P'' d’obtenir un numéro pair est donc

P'' = 1 - P' = 1 - 3/5 = 2/5 .

On calcule alors l'espérance mathématique de la variable aléatoire X :

E(X) = l.(2/5) - 10.(3/5)

d'où : E(X) = (2l - 30) /5 .

Ce jeu sera équitable si, et seulement si on a E(X) = 0.

E(X) = 0 ó 2l – 30 = 0 ó l = 15 .

Le jeu sera équitable si et seulement si Dominique donne 15 euros.

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