Correction du sujet :      Bac S 1999  Inde (Juin 99)

Exercice 1  (5 points)                                                           Énoncé

 

            1.         2. a.     2. b.     3. a.     3. b.     3. c.     3. d.     3. e.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

1. Résoudre dans  l’équation : (0,5 point)

 

On désignera par z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et par z2 l’autre solution.

 

Le discriminant de ce trinôme vaut :

 

           

 

Le discriminant étant strictement négatif, cette équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :

 

 

 

2. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z1 et z2. (1 point)

 

On a :

 

donc z1 est le nombre complexe de module 2 d'argument  p/4 [2p] .

 

De même,

donc z2 est le nombre complexe de module 2 d'argument  -p/4 [2p] .

 

Remarque :

 

Comme z2 est le conjugué de z1, on pouvait déduire sans calcul que z2 est le complexe de module 2 d'argument  -p/4 [2p] .

 

 

2. b. Déterminer le module et un argument du nombre complexe  (z1/z2)2  . (0,5 point)

 

Deux méthodes sont possibles :

 

1ère méthode :

 

 

donc le module de (z1/z2)2 vaut 1 et son argument p [2p] .

 

 

2ème méthode :

 

           

 

           

 

 

3. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;,)  (unité : 1 cm), on considère les points M1 , M2 et A d’affixes respectives :

 

 

3. a. Déterminer l’affixe du point M3, image de M2 par l’homothétie h de centre A et de rapport  -3 . (0,5 point)

 

On voit tout de suite que zM1 = z1  et  que  zM2 = z2 , on utilisera donc, dans toute la suite, les affixes z1 et z2 pour les point M1 et M2 .

 

M3 est l'image du point M2 par l’homothétie h de centre A et de rapport  -3 , ce qui se traduit vectoriellement par :

 

 

ou sous forme complexe, par :

 

           

           

 

 

3. b. Déterminer l’affixe du point M4, image de M2 par la rotation r de centre O et d’angle -p/2 . (0,5 point)


M4 est l'image de M2 par la rotation r de centre O et d’angle -p/2 ,

 

donc on a :

 

 

 

3. c. Placer dans le même repère les points A, M1, M2, M3, et M4. (0,5 point)

 

Les points M1 et M2 sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses car z1 est le conjugué de z2 .

 

Les points M1 et M4 sont symétriques par rapport au point O car z1 est l’opposé de z4   ( z1 = - z4 ) .

 

Comme les points M1 et M2 sont de module égal 2 , ils sont situés sur le cercle de centre O et de rayon 2 .

 

Comme le point M4 est l’image de M2 par une rotation de centre O , il est également situé sur le cercle de centre O et de rayon 2 .

 

 

 

 

3. d. Calculer   (z3-z1)/(z4-z1) . (0,5 point)

 

On a :

 

 

3. e. Soient I le milieu du segment [M3M4] et M5 le symétrique de M1 par rapport à I. Montrer que les points M1, M3, M5 et M4 forment un carré. (1 point)

 

Calculons l'affixe de I :

 

               

 

M5 étant le symétrique de M1 par rapport à I , I est le milieu du segment [M3M4] et on a :