School Angels

Correction du sujet : Bac S 1999 Asie (Juin 99)

Exercice 2 (5 points) SPECIALITE Énoncé

1. a. 1. b. 2. a. 2. b. 3. a. 3. b.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

· théorème de Gauss

1. On considère l’équation (E) : 8x + 5y = 1, où (x ; y) est un couple de nombres entiers relatifs.

1. a. Donner une solution particulière de l’équation (E). (0,25 point)

On voit tout de suite qu'une solution particulière de (E) est x = 2 et y = -3 .

Remarque : Par le théorème de Bezout, comme 8 et 5 sont premiers entre eux, on a que (E) admet des solutions dans .

1. b. Résoudre l’équation (E). (1,25 point)

On a : (cf. question 1. a. )

donc en soustrayant membre à membre, on obtient :

8(x-2) + 5(y+3) = 0

d'où : 8(x-2) = - 5(y+3)

Comme 8 divise 8(x-2) et est premier avec 5 , d’après le théorème de Gauss, 8 divise y+3 et il existe un entier relatif k tel que y+3 = 8k .

d'où 8(x-2) = -5(8k)

d'où x-2 = -5k ,

donc les solutions de (E) sont les entiers relatifs de la forme x = 2 - 5k et y = -3 + 8k (k appartenant à Z).

2. Soit N un nombre naturel tel qu’il existe un couple (a;b) de nombres entiers vérifiant :

2. a. Montrer que le couple (a;-b) est solution de (E). (0,5 point)

On a : 8a + 5(-b) = (N-1) - (N-2)

d'où 8a - 5b = 1 ,

donc le couple (a;-b) est solution de (E).

2. b. Quel est le reste, dans la division de N par 40 ? (1 point)

Comme le couple (a;-b) est solution de (E), il existe un entier relatif k tel que a = 2-5k et -b = 3+8k ,

d’où N = 8(2-5k) + 1 = -40k + 17 ,

donc le reste de la division de N par 40 est 17.

3. a. Résoudre l’équation 8x + 5y = 100, où (x;y) est un couple de nombres entiers relatifs. (1 point)

Une solution particulière de (E) est x = 2, y = - 3,

donc une solution particulière est (200 ; -300) !

On a alors : 8x + 5y = 100 ó 8x + 5y = 8(200) + 5(-300) = 100

ó 8(x-200) + 5(y+300) = 0

ó 5(y+300) = 8(200-x)

Avec le même type de raisonnement qu'à la question 1. b. , on montre qu’il existe un entier relatif k tel que :

200-x = 5k et y = - 300 + 8k

Les solutions de l’équation 8x + 5y = 100 sont donc les couples (200-5k ; -300+8k) , k appartenant à .

3. b. Au VIII^ème siècle, un groupe composé d’hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d’hommes et de femmes dans le groupe ? (1 point)

Soit x le nombre d'hommes et y le nombre de femmes.

Le problème se rapporte à la recherche de deux entiers naturels x et y tels que 8x + 5y = 100.

D'après la question 3. a. , on cherche un entier relatif k tel que :

Ce qui équivaut à :

Les seules valeurs de k possible sont donc k = 38 et k = 39 :

k = 38 : x = 10 hommes et y = 4 femmes
k = 39 : x = 5 hommes et y = 12 femmes.

Le groupe pouvait donc compter 10 hommes et 4 femmes ou 5 hommes et 12 femmes.