Correction du sujet :      Bac S 1999  Asie (Juin 99)

                                   Exercice 2  (5 points)                                                           Énoncé

 

            1. a.     1. b.     1. c.     2. a.     2. b.     3.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

1. Pour tout nombre complexe Z, on pose P(Z) = Z4 - 1.

1. a. Factoriser P(Z). (0,5 point)

 

On a, pour tout Z complexe :

 

Z4 - 1 = (Z2 - 1) (Z2 + 1)

 

Or        (Z2 - 1) = (Z - 1) (Z + 1)     et     Z2 + 1 = Z2 - (-1) = Z2 - i² = (Z - i) (Z + i).

 

donc    P(Z) = (Z - 1) (Z + 1) (Z - i) (Z + i)   .

 

 

1. b. En déduire les solutions dans l’ensemble  des nombres complexes de l’équation P(Z) = 0, d’inconnue Z.   (0,5 point)

 

Pour qu'un produit de facteur soit nul, il faut et il suffit qu'un seul facteur soit nul,

 

donc   P(Z) = 0 équivaut à Z = 1 ou Z = - 1 ou Z = i ou Z = - i ,

 

donc    S = {1 ; -1 ; i ; - i }  .

 

 

1. c. Déduire de la question précédente les solutions dans  de l’équation d’inconnue z :   (1 point)

 

On peut tout de suite écrire que z doit être différent de 1 (dénominateur non nul).

 

Effectuons le changement de variable   Z = (2z+1)/(z-1) .

 

Pour résoudre l'équation donnée, il faut résoudre d'abord l'équation   Z4 = 1  ó   Z4 - 1 =0  dont nous avons déjà les solutions,

 

puis résoudre   (2z+1)/(z-1) = Zi   ou Zi représente les différentes solutions de   P(Z) = 0 .

 

 

 

                        (2z+1)/(z-1) = 1

 

ó        2z+1 = z-1

 

ó        z = -2  .

 

 

 

                        (2z+1)/(z-1) = -1

 

ó        2z+1 = -z +1

 

ó        z = 0  .

 

 

 

(2z + 1)/(z - 1) = i

 

ó        2z + 1 = iz - i

 

ó        2z - iz = -1 - i

 

ó        z (2 - i) = - (1 + i)

 

d'où : (on multiplie numérateur et dénominateur par la forme conjuguée du dénominateur afin d'éliminer la forme complexe de celui-ci)

 

 

 

 

(2z + 1)/(z - 1) = -i

 

ó        2z + 1 = -iz + i

 

ó        2z + iz = -1 + i

 

ó        z (2 + i) = i - 1

 

d'où : (on élimine à nouveau la forme complexe du dénominateur)

 

 

 

 

 

 

2. a. Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormal direct   (O ; ,)   (l’unité graphique est 5 cm).

Placer les points A, B et C d’affixes respectives :   (0,25 point)

 

 

 

 

2. b. Démontrer que les points O, A, B et C sont situés sur un cercle, que l’on déterminera. (0,75 point)

 

Les points d'un cercle sont tous équidistants du centre et l'ensemble des points équidistants de deux points donnés est la médiatrice du segment qu'ils définissent,

 

donc si le cercle passant par O, A, B et C existe, son centre est situé à l’intersection des médiatrices de [OA] et [BC], c’est-à-dire le point d’affixe -1.(cf. figure).

 

Appelons ce point I et calculons les distances IO, IA, IB, IC .

 

On a immédiatement   IO = IA = 1.

 

 

 

donc IO = IA = IB = IC ,

 

donc les quatre points O, A, B et C sont sur le cercle () de centre I d’affixe - 1 et de rayon 1 .

 

 

 

3. Placer le point D d’affixe d = - 1/2 . Exprimer sous forme trigonométrique le nombre complexe z´ défini par :   (0,5 point)

 

En déduire le rapport CA/CD. (0,5 point)

 

Quelle autre conséquence géométrique peut-on tirer de l’expression de z´ ? (1 point)

 

 

 

 

La forme trigonométrique de z' est donc :

 

 

On en déduit immédiatement :

 

 

D'autre part, on a :

 

 

et comme le triangle OCA est rectangle en C (car inscrit dans un cercle dont [OA] est un diamètre : le cercle W ), on en déduit que la droite (CD) est la bissectrice de l’angle (OCA) .

 

 

 

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