Correction du sujet : Bac S 1999 Amérique du Nord (Juin
99)
Exercice 2 (5 points)
SPECIALITE Énoncé
Ce sujet nécessite de
connaître les points suivants du cours :
·
division euclidienne
Les trois parties I, II, III peuvent être
traitées indépendamment les unes des autres.
Partie I
Soit E = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ;
9 ; 10}.
Déterminer les paires {a;b} d’entiers
distincts de E tels que le reste de la division euclidienne de ab
par 11 soit 1. (1 point)
Le reste de la division
euclidienne de ab par 11 est 1 si et seulement si ab
s'écrit sous la forme :
ab = 11q + 1 .
On a forcément ab £ 90 (on le vérifie
facilement en prenant les plus grandes valeurs de E), ce qui entraîne 1 £ k £ 8
Les produits ab -
des paires {a;b} distincts de E - qui soient
supérieurs à 11 sont parmi :
12 , 23 , 34 , 45 , 56 , 67 , 78 et 89
Faisons maintenant un peu de
tri :
·
12
= 3 ´ 4 + 2 ´ 6 … OK
·
23
est un nombre premier, donc il n'existe pas de couple {a,b} tel que ab = 23 … éliminé
·
34
= 2 ´ 17
17 n'appartient pas à E … éliminé
·
45
= 5 ´ 9 …
OK
·
56
= 7 ´ 8 …
OK
·
67
n'est pas divisible par les éléments de E donc il n'existe pas de couple {a,b}
d'éléments distincts E vérifiant ab = 67 … éliminé
·
78
= 3 ´ 26 = 6 ´ 13 donc il n'existe pas de
couple {a,b} d'éléments distincts E vérifiant ab = 78 … éliminé
·
89
n'est pas divisible par les éléments de E donc il n'existe pas de couple {a,b}
d'éléments distincts E vérifiant ab = 89 … éliminé
donc les paire{a,b} d'éléments distincts de E tels
que le reste de la division euclidienne de
ab par 11 soit 1 sont :
{3,4} {2,6} {5,9}
{7,8}
Les nombres ab dont la
division par 11 donne un reste égal à 1 sont 12 ; 45 ; 56.
Partie II
1. Soit n un entier naturel supérieur ou
égal à 3.
1. a. L'entier (n - 1)! + 1 est-il pair ? (0,5 point)
Comme n ³ 3 , on a alors (n-1) ³ 2 ,
donc le produit (n-1)!
Comprend obligatoirement le facteur
2 ,
donc (n-1)!
est pair,
et par conséquent (n-1)! + 1 est impair.
donc l’entier (n - 1)! + 1 n’est pas un entier pair.
1. b. L'entier (n - 1)! + 1 est-il
divisible par un entier naturel pair ? (0,5 point)
(n-1)! + 1 étant un entier impair (cf. question
précédente), il n'est pas divisible par un entier naturel pair.
2. Prouver que l’entier (15 - 1)! + 1
n’est pas divisible par 15. (0,25 point)
On peut utiliser deux
méthodes, la première étant plus jolie d'un point de vue mathématiques :
·
1ère méthode :
On a : 15 = 3 ´ 5 ,
(15 - 1)! + 1 = 14! + 1 =
14 ´ 13 ´ 12 ´ 11 ´ 10 ´ 9 ´ 8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1
+ 1
= 3 ´ 5 ´ 14 ´ 13 ´ 12 ´ 11 ´ 10 ´ 9 ´ 8 ´ 7 ´ 6 ´ 4 ´ 2 ´ 1
+ 1
= 15 ´ [14 ´ 13 ´ 12 ´ 11 ´ 10 ´ 9 ´ 8 ´ 7 ´ 6 ´ 4 ´ 2 ´ 1] + 1
On en déduit que
(15 - 1)! + 1 n'est pas
divisible par 15 .
·
2ème méthode :
(15 - 1)! + 1 = 14! + 1 =
14 ´ 13 ´ 12 ´ 11 ´ 10 ´ 9 ´ 8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1
+ 1
= 87 178 291 201
Ce résultat n'étant pas divisible par 5, on en déduit
que (15 - 1)! + 1 n'est pas divisible par 15 .
3. L’entier (11 - 1)! + 1 est-il
divisible par 11 ? (0,25 point)
(11 - 1)! + 1 = 10! + 1 = 10
´ 9 ´ 8 ´ 7 ´ 6 ´ 5 ´ 4 ´ 3 ´ 2 ´ 1 + 1 = 3 628 801 = 329 891 ´ 11
donc l’entier (11 - 1)! +
1 est-il divisible par 11 .
Partie III
Soit p un entier naturel non premier (p ³ 2).
1. Prouver que p admet un diviseur q (1
< q < p) qui divise (p-1)! . (1 point)
p est un entier naturel non
premier (p > 2),
donc p peut s'écrire sous la
forme d'un produit d'entiers : p = q.q'
avec 1 < q < p et
1 < q < p .
q est donc un des facteurs
de (p-1)! = (p-1)(p-2) … 2 x 1,
donc q divise (p - 1)! .
2. L’entier q divise-t-il l’entier (p -
1)! + 1 ? (1 point)
q divise (p-1)! par
hypothèse,
donc, s’il divisait (p-1)! + 1
, il devrait diviser 1, ce qui est impossible,
donc q ne divise pas (p-1)! + 1 .
3. L’entier p divise-t-il l’entier (p-1)!
+ 1 ? (0,5 point)
On a encore deux méthodes
possibles :
·
1ère méthode :
L'entier q ne divise pas (p-1)! + 1 (cf. question précédente),
donc l'entier p = q.q' ne divise pas (p-1)! + 1 .
·
2ème méthode : (raisonnement par l'absurde)
Si (p-1)! + 1 est divisible par p, alors on peut écrire
qu'il existe un entier k tel que
(p-1)! + 1 = kp.
donc q divise
kp et doit diviser (p-1)! + 1 , ce qui est
impossible (cf. question précédente),
donc l'entier p = q.q' ne divise