Correction du sujet :      Bac S 1999  Antilles - Guyane  (Juin 99)

Exercice 2  (5 points)  SPECIALITE                                  Énoncé

 

1.         2. a.     2. b.     2. c.     2. d.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O,i,j) , on donne le point A(12;18). On désigne par B un point de l’axe (O,i) et par C un point de l’axe (O,j) tels que :

 

On appelle x l’abscisse de B et y l’ordonnée de C.

 

1. Démontrer que le couple (x ; y) est solution de l’équation  (E) :   2x + 3y = 78. (1 point)

 

Deux méthodes sont possibles : par le théorème de Pythagore, ou par le produit scalaire.

 

 

Le triangle ABC est rectangle car le sommet A représente un angle droit (-p/2, cf. énoncé) .

 

On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :  AB2 + AC2 = BC2 , et on a :

·         AB2 = (xB-xA)2 + (yB-yA)2 = (x-12)2 + (0-18)2 = (x - 12)2 + (18)2

·         AC2 = (xC-xA)2 + (yC-yA)2 = (0-12)2 + (y-18)2 = (12)2 + (y-18)2

·         BC2 = (xC-xB)2 + (yC-yB)2 = (0-x)2 + (y-0)2 = x2 + y2

 

donc :

 

AB2 + AC2 = BC2        ó        (x-12)2 + (18)2  +  (12)2 + (y-18)2 = x2 + y2

 

ó       x2 - 12x + 144 + 324 + 144 + y2 - 36y + 324 = x2 + y2

 

ó       -24x -36y = -936

 

ó       2x + 3y = 78

 

donc le couple (x ; y) est bien solution de l’équation (E).

 

 

On a les coordonnées suivantes de vecteurs :

 

 

 

Or ces deux vecteurs sont orthogonaux car ils forment un angle de -p/2 , donc leur produit scalaire est nul et on a :

 

(x-12)(-12) + (-18)(y-18) = 0     ó        2(x-12) + 3(y-18) = 0

 

                                               ó        2x + 3y = 2´12 + 3´18

 

                                               ó        2x + 3y = 78

 

donc le couple (x ; y) est bien solution de l’équation (E).

 

 

2. On se propose de trouver tous les couples (B, C) de points ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs.

2. a. Montrer que l’on est ramené à l’équation (E), avec x et y appartenant à l’ensemble  des nombres entiers relatifs. (1 point)

 

On a :

 

donc

           

 

donc il existe un réel m strictement positif tel que :

 

 

ó        iy - 12 - 18i = - mi (x - 12 - 18i)

 

ó        iy - 12 - 18i = - mix + 12mi - 18m

 

ó        18m - 12 + i(y + mx - 12m - 18) = 0

 

Pour qu'un complexe soit nul, il faut et il suffit que partie réelle et imaginaire soient nulles.

 

 

 

 

On est donc bien ramené à l’équation (E), avec x et y appartenant à l’ensemble  des nombres entiers relatifs (afin que les coordonnées de A et B soient des entiers relatifs).

 

 

2. b. À partir de la définition de B et C, trouver une solution particulière (x0 ; y0) de (E) avec x0 et y0 appartenant à . (1 point)

 

Deux méthodes sont encore possibles : la première est géométrique, la seconde algébrique et moins jolie.

 

 

La définition de B et C équivaut à :

·         B appartient à l'axe (O,i)

·         C appartient à l'axe (O,j)

·         ABC est rectangle en A

 

Si on considère B comme la projection orthogonale de A sur (O,i) , et C comme la projection orthogonale de A sur (O,j) , alors le triangle ABC est bien rectangle en A,

 

donc les points B0(12;0) et C0(0;18) conviennent,

 

donc le couple (x0;y0) = (12;18) est une solution particulière de l'équation (E) .

 

 

Par la question 1. , on a   (E) : 2x + 3y = 2´12 + 3´18 = 78 .

 

donc le couple (x0;y0) = (12;18) est une solution particulière de l'équation (E).

 

 

2. c. Démontrer qu’un couple (x;y) d’entiers relatifs est solution de l’équation (E) si, et seulement si, il est de la forme (12+3k ; 18-2k), où k appartient à . (1 point)

 

Nous avons :

 

Effectuons la soustraction membre à membre de ces deux équations :

 

ó     2(x - 12) + 3(y - 18) = 0     ó     2(x - 12) = - 3(y - 18)

 

Comme 2 divise  2(x-12) , il divise aussi  3(y-18) .

 

Or 2 et 3 sont premiers entre eux,

 

donc, par le théorème de Gauss, 2 divise  y-18 ,

 

donc il existe p entier relatif tel que :  y-18 = 2p ,

 

d'où   2(x-12) = -3.(2p)   ó   x-12 = -3p ,

 

donc les solutions de E dans  sont tous les couples d'entiers relatifs de la forme  (12-3p , 18+2p) , p appartenant à  ,

 

et en posant k = -p , on a que les solutions de E dans  sont tous les couples d'entiers relatifs de la forme  (12+3k , 18-2k) , k appartenant à  .

 

 

2. d. Combien y a-t-il de couples de points (B, C) ayant pour coordonnées des nombres entiers relatifs, tels que   -6 £ x £ 21   et   -5 £ y £ 14  ?  (1,5 point)

 

Par la question précédente, on doit en fait trouver les entiers relatifs k tels que :  -6 £ 12+3k £ 21   et   -5 £ 18-2k £ 14 .

 

donc :

 

 

On obtient alors  k = 2 ou k = 3 .

 

Il y a donc deux couples de points (B,C) ayant pour coordonnées des entiers relatifs, tels que  -6 £ x £ 21   et   -5 £ y £ 14 .

 

Ces couples sont :

 

 

 

 

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