School Angels

Bac L 1999 Polynésie (Juin 99)

Problème (11 points) SPECIALITE Corrigé

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j) (unité graphique 4 cm) .

Soit f la fonction définie sur par f(x)= -x + (2x+1)e^-x .

On appelle (C) la représentation graphique de f dans le repère (O ; i , j) .

Partie A : Étude de f

1. On note f ’ la dérivée de f .

Montrer que, pour tout nombre réel x, f ’(x)= (1-2x)e^-x - 1 . (1 point)

2. Le tableau de variation de f ’ est le suivant :

Calculer f ’(0), puis, en utilisant le tableau ci-dessus, donner le signe de f ’(x) pour tout nombre réel x . (0,75 point)

En déduire les variations de f sur . (0,75 point)

3. a. Montrer que, pour tout nombre réel x non nul : (0,5 point)

3. b. Déterminer la limite de f en -¥ . (0,5 point)

4. a. Montrer que, pour tout nombre réel x , f(x) = 2x e^-x + e^-x – x . (0,25 point)

4. b. Déterminer la limite de f en + ¥ . (0,5 point)

Partie B : Tracé de la courbe (C)

1. Soit j la fonction définie sur par j(x) = f(x) + x.

Étudier la limite de j en +¥ . (0,5 point)

2. Soit (D) la droite d’équation y = - x .

2. a. Interpréter graphiquement le résultat de la question précédente. (0,5 point)

2. b. Étudier la position relative de (C) et (D) et donner les coordonnées de leur point d’intersection P. (1 point)

2. c. Tracer la droite (D), puis la courbe (C) et placer le point P sur le graphique. (1 point)

Partie C : Calcul d’aire

1. Soit G la fonction définie sur par G(x) = (ax + b) e^-x, où a et b désignent des nombres réels.

1. a. Déterminer a et b pour que G soit une primitive de la fonction g définie sur par g(x) = (2x+1)e^-x . (1 point)

1. b. En déduire une primitive de f sur . (0,5 point)

2. a. Soit E la partie du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = -1/2 et x = 0 .

On note E l’aire, exprimée en cm², de la partie E. Calculer la valeur exacte de E . (1 point)

2. b. En déduire l’aire S , exprimée en cm², du domaine plan S, ensemble des points M (x ; y) vérifiant les conditions :

On donnera une valeur décimale approchée à 10^-2 près de S . (1,25 point)