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Correction du sujet : Bac L 1999 Polynésie (Juin 99)

Problème (11 points) SPECIALITE Énoncé

Partie A : 1. 2. 3. a. 3. b. 4. a. 4. b.

Partie B : 1. 2. a. 2. b. 2. c.

Partie C : 1. a. 1. b. 2. a. 2. b.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

exponentielle
courbe et asymptote
intégration et calcul d'aire

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i , j) (unité graphique 4 cm) .

Soit f la fonction définie sur par f(x)= -x + (2x+1)e^-x .

On appelle (C) la représentation graphique de f dans le repère (O ; i , j) .

Partie A : Étude de f

1. On note f ’ la dérivée de f.

Montrer que, pour tout nombre réel x, f ’(x)= (1-2x)e^-x - 1 . (1 point)

La fonction f est dérivable sur en tant que somme d’une fonction dérivable sur et d’un produit de fonctions dérivables sur .

Soit les fonctions u, v et w définies et dérivables sur avec :

w(x) = -x d’où w’(x) = -1
u(x) = 2x + 1 u’(x) = 2
v(x) = e^-x d’où v’(x) = -e^-x

On a f = w + uv , d’où : f ’ = w’ + (u’v+uv’)

d’où, pour tout x de , on a :

f ’(x) = - 1 + 2e^-x + (2x + 1)(-e^-x)

f ’(x) = - 1 + (2-2x-1)e^-x

d’où, pour tout x de :

f ’(x) = - 1 + (1-2x)e^-x

2. Le tableau de variation de f ’ est le suivant :

Calculer f ’(0), puis, en utilisant le tableau ci-dessus, donner le signe de f ’(x) pour tout nombre réel x. (0,75 point)

En déduire les variations de f sur . (0,75 point)

Remarque :

On a f ’(x) = - 1 + (1-2x)e^-x . La fonction f ‘ est dérivable sur R en tant que produit (à une constante près) de fonctions dérivables sur R , et on a :

f ’’(x) = (-2)(e^-x) + (1-2x)(-e^-x) = (2x-3)e^-x

On a f ’’(x) = 0 pour x = 3/2 = 1,5 , d’où :

· f ’’(x) < 0 sur ]-¥ ; 1,5[

· f ’’(x) > 0 sur ]1,5 ; +¥[

· f ’’(x) = 0 sur x = 1,5

d’où le tableau de variations de f ‘ donné ci-dessus !

On a :

f ’(0) = - 1 +1 ´ e⁰ = - 1 +1

d’où f ’(0) = 0 .

On a f ’(1,5) = -1,45 à 10^-2 près , donc f ’(1,5) < 0 .

D’après le tableau de variations de f ’ , on a :

f ’ est strictement décroissante sur ]-¥ ; 0[ . Or f ’(0) = 0 ,

donc pour tout x de ]-¥ ; 0[ , f ’(x) > f ’(0) ,

donc pour tout x de ]-¥ ; 0[ , f ’(x) > 0 .

f ’ est strictement décroissante sur ]0 ; 1,5[ . Or f ’(0) = 0 ,

donc pour tout x de ]0 ; 1,5[ , f ’(0) > f ’(x) ,

donc pour tout x de ]0 ; 1,5[ , f ’(x) < 0 .

f ’ est strictement croissante sur ]1,5 ; +¥[ . Or f ’(1,5) < 0 et lim _x_®₊_¥ f ’(x) = -1 < 0 ,

donc pour tout x de [1,5 ; ¥[ , f ’(x) <0 ,

d’où le tableau de signe suivant pour f ’ :

d’où les variations de f :

f est strictement croissante sur ]-¥ ; 0[ ;
f est strictement décroissante sur ]0 ; +¥[ ;
f admet un minimum en x = 0 .

3. a. Montrer que, pour tout nombre réel x non nul : (0,5 point)

Pour tout réel x non nul, on a :

3. b. Déterminer la limite de f en -¥. (0,5 point)

On a :

Or on a lim _x_®_-_¥ x = -¥ donc :

d’où lim _x_®_-_¥ f(x) = -¥

4. a. Montrer que, pour tout nombre réel x , f(x) = 2x e^-x + e^-x – x . (0,25 point)

On a , par définition de f , pour tout x réel :

f(x)= -x + (2x+1)e^-x

En développant cette expression, on obtient immédiatement :

f(x) = - x + 2xe^- x + e^-x

donc pour tout x réel, f(x) = 2x e^-x + e^-x – x .

4. b. Déterminer la limite de f en + ¥. (0,5 point)

On a :

lim _x_®₊_¥ x e^-x = 0
lim _x_®₊_¥ e^-x = 0
lim _x_®₊_¥ -x = -¥

donc, par les théorèmes algébriques de calcul de limites, on obtient : lim _x_®₊_¥ f(x) = +¥ .

Partie B : Tracé de la courbe (C)

1. Soit j la fonction définie sur par j(x) = f(x) + x .

Étudier la limite de j en + ¥. (0,5 point)

Par l’expression de f de la question A. 4. a. , on obtient : j(x) = 2xe^– x + e^– x

On a :

lim _x_®₊_¥ x e^-x = 0
lim _x_®₊_¥ e^-x = 0

donc lim _x_®₊_¥ j(x) = 0

2. Soit (D) la droite d’équation y = - x .

2. a. Interpréter graphiquement le résultat de la question précédente. (0,5 point)

A la question précédente, nous avons obtenu que :

lim _x_®₊_¥ j(x) = 0

Or on a, pour tout x réel : j(x) = f(x) + x = f(x) – (-x) d’où :

lim _x_®₊_¥ [ f(x) - (-x) ] = 0

donc la courbe (C) admet pour asymptote la droite (D) d’équation y = -x .

2. b. Étudier la position relative de (C) et (D) et donner les coordonnées de leur point d’intersection P. (1 point)

On a, pour tout x réel :

f(x) - (-x) = j(x) = 2xe^–x + e^– x = 2xe^–x + e^–x

Une exponentielle étant toujours strictement positive, on obtient que (2x + 1)e^-x est du signe de (2x + 1) .

On en déduit que :

pour tout x appartenant à ]-¥ ; -1/2[ , f(x) - (-x) < 0
pour tout x appartenant à ]-1/2 ; +¥[ , f(x) - (-x) > 0
f(x) - (-x) = 0 si et seulement si x = -1/2

d’où :

(C) est au-dessous de (D) sur ]-¥ ; -1/2[ ;
(C) est au-dessus de (D) sur ]-1/2 ; +¥[ ;
(C) et (D) se coupent au point P de coordonnées (-1/2 , 1/2) .

2. c. Tracer la droite (D), puis la courbe (C) et placer le point P sur le graphique. (1 point)

Partie C : Calcul d’aire

1. Soit G la fonction définie sur par G(x) = (ax + b) e^-x, où a et b désignent des nombres réels.

1. a. Déterminer a et b pour que G soit une primitive de la fonction g définie sur par g(x) = (2x+1)e^-x . (1 point)

G est bien dérivable, en tant que produit de fonctions dérivables sur .

G est une primitive de le fonction g sur si, et seulement si pour tout x réel, G’(x) = g(x) .

On pose pour tout x réel :

u(x) = ax + b d’où u’(x) = a
v(x) = e^-x d’où v’(x) = -e^-x

On peut donc écrire, G sous la forme G = uv et on obtient par les théorèmes de dérivation de produit de fonction G’ = u’v + uv’ , d’où :

pour tout x réel, G’(x) = ae^-x + (ax+b)(-e^-x) = (a – ax –b)e^-x

On procède alors, par identification :

Pour tout x réel, on a :

G’(x) = g(x) ó (- ax + a - b)e^-x = (2x + 1)e^-x

ó (- ax + a - b)e^-x - (2x + 1)e^-x = 0

ó [(-a-2)x + a - b - 1] e^-x = 0

ó (-a-2)x + a - b - 1 = 0 car pour tout x réel e^-x est toujours différent de 0

Cette équation étant vraie pour tout x réel, elle équivaut à :

d’où une primitive de g sur est G(x) = (-2x + -3) e^-x

1. b. En déduire une primitive de f sur . (0,5 point)

On a, pour tout x réel, f(x) = -x + g(x) .

donc, on obtient immédiatement qu’une primitive de f sur est la fonction F définie sur par :

2. a. Soit E la partie du plan limitée par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = -1/2 et x = 0 .

On note E l’aire, exprimée en cm², de la partie E . Calculer la valeur exacte de E. (1 point)

Une équation de (D) est y = -x ,

donc (D) est au-dessus de l’axe des abscisses sur l'intervalle [-1/2 ; 0] ,

Or (C) est au-dessus de (D) sur l'intervalle [-1/2 ; 0] ,

donc (C) est au-dessus de (D) sur l'intervalle [-1/2 ; 0] .

donc l'aire E de la partie E du plan, limité par (C), l'axe des abscisses, la droite d'équation x = -1/2 et l'axe des ordonnées est (en unités d'aire) :

On a alors :

Or l’unité graphique est de 4 cm et 4 ´ 4 = 16 , d’où 1 unité d’aire = 16 cm² ,

2. b. En déduire l’aire S, exprimée en cm², du domaine plan S, ensemble des points M(x ; y) vérifiant les conditions :

On donnera une valeur décimale approchée à 10^-2 près de S. (1,25 point)

La courbe (C) est au-dessus de (D) sur [-1/2 ; 0] , l'aire S du domaine S délimité par (D), (C) et les droites d'équations x = -1/2 et x = 0 , est donnée par : (en unités d’aires)

d’où S = 4,76 cm² à 10^-2 près.