School Angels

Bac L 1999 Maroc (Juin 99)

Problème (11 points) SPECIALITE Corrigé

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; i , j ) (unité graphique 2 cm).

Soit la fonction f définie sur ]0 ; +¥ [ par :

On note (C) sa représentation graphique.

Partie A : Étude de la fonction f

1. a. Déterminer la limite de f en +¥ ; interpréter graphiquement ce résultat. (0,75 point)

1. b. Déterminer la limite de f en 0 ; on pourra écrire :

Interpréter graphiquement ce résultat. (1 point)

2. a. On note f ’ la fonction dérivée de f . Calculer f ’(x) et montrer que f ’(x) a le même signe que ln(x) . (1,25 point)

2. b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. (0,75 point)

2. c. En déduire le signe de f (x) lorsque x appartient à ]0 ; +¥[. (0,5 point)

Partie B : Tracé de la courbe (C)

1. Résoudre l’équation f(x) = 1, puis l’inéquation f(x) > 1 ; en déduire la position de (C) par rapport à la droite (D) d’équation y = 1 . (1,5 point)

2. Soit A le point d’intersection de (C) et (D).

Préciser le coefficient directeur de la tangente (T) à (C) au point A. (0,25 point)

3. Construire (T), (D) et (C) dans le repère ( O ; i , j ) . (1,5 point)

Partie C : Calcul d’aire

1. Soit u la fonction définie sur ]0 ; +¥ [ par u(x) = 1 + ln x.

On note u’ la dérivée de la fonction u. Calculer u’(x). (0,5 point)

En déduire une primitive de la fonction g définie sur ]0 ; +¥ [ par : (0,5 point)

2. Calculer : (1 point)

3. On note S l’aire, exprimée en cm², du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = e.

3. a. En utilisant le résultat de la question 2. c. de la Partie A , exprimer S en fonction de I . (1 point)

3. b. Donner la valeur exacte de S. (0,25 point)

3. c. En déduire la valeur décimale approchée par défaut de S à 10^-2 près. (0,25 point)