Correction du sujet :      Bac L 1999  Maroc  (Juin 99)

                                   Problème  (11 points)  SPECIALITE                                  Énoncé

 

Partie A :        1. a.     1. b.     2. a.     2. b.     2. c.

Partie B :        1.         2.         3.

Partie C :        1.         2.         3. a.     3. b.     3. c.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

 

 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; i , j ) (unité graphique 2 cm).

 

Soit la fonction f définie sur ]0 ; +¥ [ par :

 

 

On note (C) sa représentation graphique.

 

Partie A :   Étude de la fonction f

 

1. a. Déterminer la limite de f en +¥ ; interpréter graphiquement ce résultat. (0,75 point)

 

Par le cours, on sait que :

 

donc    lim x®+¥ f(x) = 1

 

On déduit de ce résultat que la courbe (C) a pour asymptote la droite d’équation  y = 1  au voisinage de +¥ .

 

 

1. b. Déterminer la limite de f en 0 ; on pourra écrire :

 

 

Interpréter graphiquement ce résultat. (1 point)

 

On a, pour tout x de ]0 ; +¥[ :

 

 

On a :

 

donc   lim x®0+ (1+ln x) / x = -¥   (d’après les théorèmes algébriques de calcul de limites)

 

donc    lim x®0+ f(x) = +¥

 

On déduit de ce résultat que la courbe (C) a pour asymptote la droite d’équation  x = 0  (axe des ordonnées) au voisinage de 0+ .

 

 

2. a. On note f ’ la fonction dérivée de f . Calculer f ’(x) et montrer que f ’(x) a le même signe que ln x. (1,25 point)

 

La fonction f est dérivable sur ]0 ; +¥[ en tant que somme de quotients de fonctions dérivables sur ]0 ; +¥[ , les dénominateurs des quotients ne s’annulant pas sur ]0 ; +¥[ . On a :

 

Pour dériver le terme  (ln x)/x  on pose :

 

Le terme  (ln x)/x  est de la forme u/v  , donc sa dérivée sera de la forme : (u’v – uv’)v2 ,

 

d’où la dérivée de f s’écrit :

 

 

donc, pour tout x de ]0 ; +¥[ :

 

 

Comme pour tout x de ]0 ; +¥[  (et même de  !)  x2 > 0 , on obtient que f ’(x) est du signe de ln(x) sur  ]0 ; +¥[ .

 

 

2. b. Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation. (0,75 point)

 

f ’(x) étant du même signe que  ln(x)  , on obtient immédiatement le tableau de signe de f ’ , puis le tableau de variations de f :

 

 

On a :

 

 

2. c. En déduire le signe de f (x) lorsque x appartient à ]0 ; +¥[. (0,5 point)

 

D’après le tableau de variations de f établi à la question précédente, on sait que f admet un unique extremum qui est un minimum, atteint en x = 1 et valant  f(1) = 0 ,

 

donc, pour tout x de ]0 ; +¥[ ,  f(x) ³ 0  , ou plus précisément :

 

 

 

 

Partie B :   Tracé de la courbe (C)

 

1. Résoudre l’équation f(x) = 1, puis l’inéquation f(x) > 1 ; en déduire la position de (C) par rapport à la droite (D) d’équation  y = 1 . (1,5 point)

 

 

 

 

 

1/e appartient bien à ]0 ; +¥[ ,

 

donc  x = 1/e  est l’unique solution de l’équation  f(x) = 1  sur  ]0 ; +¥[ .

 

 

 

       ó   - ln(x) – 1 > 0   car x > 0 car x appartient à  ]0 ; +¥[ .

 

       ó   ln(x) < -1

 

                   ó  x < 1/e   (car la fonction logarithme est strictement croissante sur  ]0 ; +¥[ )

 

donc l’ensemble des solutions de l’inéquation f(x) > 1 est  ]0 , 1/e[ .

 

On déduit de ce qui précède que f(x) - 1 > 0  si et seulement si x appartient à  ]0 , 1/e[ , et on peut alors établir le tableau de signe de  f(x) - 1 :

 

 

On en déduit la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D) d’équation  y = 1 :

 

 

2. Soit A le point d’intersection de (C) et (D).

Préciser le coefficient directeur de la tangente (T) à (C) au point A. (0,25 point)

 

On a f(x) = 1 pour  x = 1/e  (cf. question précédente) ,

 

donc le point d’intersection A de (C) et (D) a pour coordonnées  (1/e , 1) .

 

Par le cours, on sait que le coefficient directeur de la tangente (T) à (C) en A est f ’(1/e) . On a :

 

donc le coefficient directeur de (T) est  -e2  .

 

 

3. Construire (T), (D) et (C) dans le repère ( O ; i , j ) . (1,5 point)

 

 

 

 

Partie C :   Calcul d’aire

 

1. Soit u la fonction définie sur ]0 ; +¥ [ par u(x) = 1 + ln x.

On note u’ la dérivée de la fonction u. Calculer u’(x). (0,5 point)

En déduire une primitive de la fonction g définie sur ]0 ; +¥ [ par : (0,5 point)

 

 

u est dérivable sur ]0 ; +¥ [ en tant que somme de fonctions dérivables sur ]0 ; +¥ [ .

 

On a, pour tout x de ]0 ; +¥[  ,  u’(x) = 1/x  .

 

Pour tout x de ]0 ; +¥[ , on a :

 

 

donc une primitive de g sur ]0 ; +¥[  est la fonction G définie par :

 

 

 

2. Calculer : (1 point)

 

 

D’après le résultat de la question précédente, on a :

 

 

d’où :   I = 3/2  .

 

 

3. On note S l’aire, exprimée en cm2, du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = e.

3. a. En utilisant le résultat de la question 2. c. de la Partie A , exprimer S en fonction de I . (1 point)

 

On sait que pour tout x de [1 , e] ,  f(x) ³ 0  (cf. question A. 2. a.),

 

donc (C) est au-dessus de l’axe (Ox) (abscisses) et on a, en unités d’aires :

 

 

 

Le plan étant muni d’un repère orthonormal et l’unité graphique valant 2 cm, on a   1 unité d’aire = 4 cm2  , d’où :

 

            S = 4 (e – 1 – I)  cm2  .

 

 

3. b. Donner la valeur exacte de S.   (0,25 point)

 

D’après le résultat de la question précédente, on a :

 

           

 

 

3. c. En déduire la valeur décimale approchée par défaut de S à 10-2 près. (0,25 point)

 

La valeur décimale approchée à 10- 2 près par défaut de S est   S = 0,87 cm2 .

 

 

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