School Angels

Bac L 1999 Asie (Juin 99)

Problème (12 points) SPECIALITE Corrigé

On considère la fonction f définie sur par :

et on appelle (C) sa courbe dans un repère orthonormal (O ; i , j) d’unité 2 cm.

1. Déterminer les limites de f en +¥ et en -¥ . (0,5 point)

2. Montrer que la droite (D₁) d’équation y = x +1 est asymptote à (C) en +¥. (0,5 point) Préciser la position relative de (C) et de (D₁). (0,5 point)

3. Montrer que, pour tout réel x, f(x) + f(-x) = 0. (0,5 point) En déduire que la fonction f est impaire et donner un élément de symétrie de la courbe (C). (0,5 point)

4. Déduire de ce qui précède que la droite (D₂) d’équation y = x+1 est asymptote à (C) en -¥. (0,5 point)

Préciser la position relative de (C) et de (D₂). (0,5 point)

5. a. Montrer que, pour tout x : (0,5 point)

En déduire le sens de variation de f . (0,5 point)

5. b. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0. (0,5 point)

5. c. Tracer dans le repère (O ; i , j) les droites (T), (D₁), (D₂) et la courbe (C). (1,5 point)

Partie B :

1. a. Démontrer que, pour tout réel x : (0,5 point)

1. b. En déduire l’expression de la primitive F de f , définie sur , telle que F(0) = - 2 ln 2 . (1 point)

2. Pour tout entier naturel n, on appelle u_n l’aire exprimée en cm² du domaine g_n délimité par la courbe (C), la droite (D₁) et les droites (D_n) et (D_n+1) d’équations respectives x = n et x = n + 1.

2. a. Démontrer que, pour tout n : (1 point)

2. b. Calculer u_n et montrer que, pour tout n : (1 point)

2. c. Représenter sur le graphique les domaines g₀, g₁, g₂ ; donner une valeur approchée de u₀ à 10^-2 près. (1 point)

3. Démontrer que, pour tout n :

et en déduire la limite de (u_n). (1 point)