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Correction du sujet : Bac L 1999 Asie (Juin 99)

Exercice 2 (4 points) SPECIALITE Énoncé

Partie A : 1. 2. 3. 4. 5. a. 5. b. 5. c.

Partie B : 1. a. 1. b. 2. a. 2. b. 2. c. 3.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

exponentielle
asymptotes et tangente
intégration et calcul d’aire
suite numérique

Partie A :

On considère la fonction f définie sur par :

et on appelle (C) sa courbe dans un repère orthonormal (O ; i , j) d’unité 2 cm.

1. Déterminer les limites de f en +¥ et en -¥ . (0,5 point)

On a :

lim _x_®₊_¥ x = +¥ d’où lim _x_®₊_¥ (x-1) = +¥
lim _x_®₊_¥ e^x = +¥ , d’où lim _x_®₊_¥ (e^x +1) = +¥ , d’où lim _x_®₊_¥ 1/(e^x +1) = 0 , d’où lim _x_®₊_¥ 2/(e^x +1) = 0 ,

donc, d’après les théorèmes algébriques de calcul de limites, on a :

lim _x_®₊_¥ f(x) = +¥ .

D’autre part :

lim _x_®_-_¥ x = -¥ d’où lim _x_®_-_¥ (x-1) = -¥
lim _x_®_-_¥ e^x = 0 , d’où lim _x_®_-_¥ (e^x +1) = 1 , d’où lim _x_®_-_¥ 1/(e^x +1) = 1 , d’où lim _x_®_-_¥ 2/(e^x +1) = 2 ,

donc, d’après les théorèmes algébriques de calcul de limites, on a :

lim _x_®_-_¥ f(x) = -¥ .

2. Montrer que la droite (D₁) d’équation y = x+1 est asymptote à (C) en +¥. (0,5 point)

Préciser la position relative de (C) et de (D₁). (0,5 point)

Nous avons, pour tout x de ,

Or, on a lim _x_®₊_¥ 2/(e^x +1) = 0 ,

donc la droite (D₁) d’équation y = x - 1 est asymptote à (C) en +¥ .

De plus, on a (comme e^x >0 pour tout x de )

donc, pour tout x de , la courbe (C), représentative de f , est toujours située au-dessus de son asymptote (D₁).

3. Montrer que, pour tout réel x, f(x) + f(-x) = 0. (0,5 point)

En déduire que la fonction f est impaire et donner un élément de symétrie de la courbe (C). (0,5 point)

Pour tout réel x ,

d’où, pour tout x de , on a : f(x) + f(-x) = 0 ,

donc la fonction f est impaire et sa courbe représentative (C) est symétrique par rapport au point O , origine du repère.

4. Déduire de ce qui précède que la droite (D₂) d’équation y = x+1 est asymptote à (C) en -¥. (0,5 point)

Préciser la position relative de (C) et de (D₂). (0,5 point)

On sait que la courbe (C) est symétrique par rapport au point O , et elle admet en +¥ la droite (D₁) pour asymptote,

donc par symétrie, la courbe (C) admet une asymptote en -¥ , et cette asymptote est le symétrique de la droite (D₁) par rapport au point O.

Le symétrique de la droite (D₁) par rapport au point O est une droite d’équation y = x +1 ,

donc la droite (D₂) d’équation y = x+1 est asymptote à (C) en -¥ .

Par symétrie, comme la courbe (C) est au-dessus de la droite (D₁), la courbe (C) est au-dessous de la droite (D₂).

5. a. Montrer que, pour tout x : (0,5 point)

En déduire le sens de variation de f . (0,5 point)

On écrit f sous la forme f = u + 2/v

Avec u et v deux fonctions définies et dérivables de dans par :

u(x) = x – 1 d’où u’(x) = 1
v(x) = e^x + 1 d’où v’(x) = e^x , et la fonction 1/v est également dérivable sur R car v est dérivable et ne s’annule pas.

f est dérivable sur en tant que somme de fonctions dérivables sur , et on a f = u’ + 2(-v’/v²) , d’où :

d’où :

Pour tout x de , on a :

e^x > 0 , donc e^2x > 0 , donc e^2x + 1 > 0
(e^x + 1)² > 0

donc pour tout x de , f ’(x) > 0 ,

donc f est strictement croissante sur .

5. b. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0. (0,5 point)

La tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0 a pour équation : y = f ’(0) (x–0) + f (0) .

On a :

f (0) = 0
f ’(0) = 1/2

donc l’équation de (T) s’écrit y = x/2 .

5. c. Tracer dans le repère (O ; i , j) les droites (T), (D₁), (D₂) et la courbe (C). (1,5 point)

Partie B :

1. a. Démontrer que, pour tout réel x : (0,5 point)

Pour tout réel x, on a :

donc on a bien montré que pour tout x réel, f(x) peut s’écrire :

1. b. En déduire l’expression de la primitive F de f , définie sur R, telle que F(0) = - 2 ln(2) . (1 point)

Soit t la fonction définie sur par t(x) = e^x/(e^x+1) .

t est de la forme z’(x)/z(x) (avec z(x) > 0 sur ) , donc une primitive de t sera de la forme ln[z(x)] = ln[e^x+1] .

On en déduit qu’une primitive de f est une fonction F_k définie sur et de la forme : (k désigne une constante réelle)

F est la primitive de f telle que F(0) = -2 ln(2) . Déterminons la valeur que prend alors la constante k .On a :

F_k(0) = - 2 ln(2) + k = -2 ln(2)

d’où k = 0 ,

d’où :

2. Pour tout entier naturel n, on appelle u_n l’aire exprimée en cm² du domaine g_n délimité par la courbe (C), la droite (D₁) et les droites (D_n) et (D_n+1) d’équations respectives x = n et x = n + 1 .