Correction du sujet : Bac L 1999 Polynésie (Juin 99)
Exercice
1 (4 points) SPECIALITE Énoncé
Ce sujet nécessite de
connaître les points suivants du cours :
- probabilités
Un sac contient dix jetons numérotés de 0 à 9. Une épreuve consiste à tirer successivement et sans remise trois jetons dans le sac ; on considère le nombre formé par les trois chiffres obtenus, dans l’ordre de leur tirage. Les tirages sont supposés équiprobables.
Le premier jeton donne le chiffre des centaines.
Le deuxième jeton donne le chiffre des dizaines.
Le troisième jeton donne le chiffre des unités.
Les nombres obtenus ont donc trois ou deux chiffres (si le chiffre des centaines est égal à 0).
Les trois jetons sont remis dans l’urne après chaque épreuve.
1. A est l’événement : “ le chiffre des centaines est 1, celui des dizaines est 5 ”.
B est l’événement : “ le chiffre des unités est 7 ”.
Calculer la probabilité de chacun des événements A , B , AÇB. (2 points)
On tire sans remise du sac (qui contient 10
jetons) trois jetons. Le nombre de tirages possibles est donc :
L’événement A est réalisé si on tire :
- d'abord le jeton 1 (1 seul choix possible)
- puis le jeton 5 (1 seul choix possible)
- puis un jeton quelconque (on a déjà tiré deux jetons, donc il
reste 10 – 2 = 8 choix possibles).
On a : 1
´ 1 ´ 8 = 8 ,
donc 8 tirages permettent de réaliser l’évènement A
, d’où :
donc la probabilité que l'événement A soit réalisé
est égale à 1/90 .
L’événement B est réalisé si on tire :
- d'abord un jeton quelconque différent de 7 (10 – 1 = 9 choix
possibles)
- puis encore un jeton quelconque différent de 7 (9 – 1 = 8 choix
possibles)
- puis le jeton 7 (un seul choix possible).
On a : 9
´ 8 ´ 1 = 72
donc 72 tirages permettent de réaliser l’évènement B
, d’où :
donc la probabilité que l'événement B soit réalisé
est égale à 1/10 .
A Ç B est l'événement qui rempli les deux conditions :
- le chiffre des centaines est 1, celui des dizaines est 5
- le chiffre des unités est 7
donc l’événement A Ç B est réalisé si on
tire :
- d'abord le jeton 1 (1 seul choix possible)
- puis le jeton 5 (1 seul choix possible)
- puis le jeton 7 (1 seul choix possible).
On a : 1
´ 1 ´ 1 = 1 ,
donc 1 seul tirage permet de réaliser l’évènement A Ç B (ce qui est bien
logique), d’où :
donc la probabilité que l'événement A Ç B soit réalisé est égale à
1/720 .
2. On imagine la règle du jeu suivante : après chaque épreuve, si la somme des chiffres du nombre obtenu est égale à 12, alors le joueur gagne 20 F, sinon il perd 30 F.
2. a. Soit C l’événement : “ la somme des chiffres du nombre obtenu est égale à 12 ”.
Déterminer Card (C) et montrer que la probabilité de l’événement C est égale à 1/12. (0,5 point ; 0,75 point)
L'ensemble des combinaisons pour lesquelles la somme des trois chiffres est égale à 12 est : (on a procédé à un recensement par ordre décroissant, méthode qui permet de ne rien oublier … on rappelle qu’on ne peut utiliser deux fois le même jeton, chacun d’eux étant unique)
- (9 ; 3 ; 0)
- (9 ; 2 ; 1)
- (8 ; 4 ; 0)
- (8 ; 3 ; 1)
- (7 ; 5 ; 0)
- (7 ; 4 ; 1)
- (7 ; 3 ; 2)
- (6 ; 5 ; 1)
- (6 ; 4 ; 2)
- (5 ; 4 ; 3)
Chacune de ces 10 combinaisons peut s’écrire de 3 ´ 2 ´ 1 = 6
manières différentes,
donc 60 tirages permettent la réalisation de l’événement C , d’où :
card(C) = 60
On a alors :
donc la probabilité que la somme des chiffres obtenus
soit égale à 12 est égale à
1/12 .
2. b. Calculer la probabilité qu’après trois épreuves le joueur ait gagné 10 F. (0,75 point)
Le joueur gagne 10 F après trois épreuves s’il a
gagné deux fois et perdu une fois, c’est à dire s’il a réalisé la combinaison
d’événement :
(
C ; C ; 
)
Il y a trois arrangement possibles qui réalisent
cette combinaison :
(
C ; C ; )
( C ; ;
C ) ( ;
C ; C )
On a :
La probabilité que cette combinaison soit réalisée
est donc :
La probabilité que le joueur ait gagné 10 francs après trois épreuves est égale à