Correction du sujet : Bac L 1999 Asie (Juin 99)
Exercice
1 (4 points) SPECIALITE Énoncé
1. a. 1. b. 2. a. 2. b. 2. c. 3.
Ce sujet nécessite de
connaître les points suivants du cours :
- probabilités
- loi de probabilité d’une variable
aléatoire
- espérance mathématique
Un panneau "STOP" a été mis à un carrefour extrêmement dangereux où une petite route aboutit à une grande route très fréquentée. On a constaté que 20 % des automobilistes ne respectent pas le panneau "STOP", que 30 % des automobilistes ne respectant pas le panneau "STOP" ont un accident à ce carrefour et que 95 % des automobilistes respectant le panneau "STOP" n’ont pas d’accident à ce carrefour. On considère un automobiliste au hasard arrivant à ce carrefour et on définit les événements suivants :
S : “ l’automobiliste a respecté le panneau "STOP" ”
A : “ l’automobiliste a eu un accident au carrefour ”.
1. a. Donner p(
)
, p(S) , p(A/) et
p(
/S) .
En déduire p(A/S). (0,5 point ; 0,25 point)
A partir des données
de l’énoncé, on peut établir l’arbre pondéré suivant :
On en déduit les
probabilités suivantes :
p(
) = 0,2
p(S) = 1 – p() = 1 – 0,2
= 0,8
p(A/) = 0,3
p(
/S) =
0,95
donc p(A/S) = 1
– p(
/S) = 1
– 0,95 = 0,05
1. b. Démontrer que p(A) = 0,1. (1 point)
Un automobiliste peut soit s’arrêter au panneau " STOP " , soit ne pas s’arrêter et il n’y a pas d’autre choix possible,
donc
S et forment une partition de l’univers considéré,
donc on peut
écrire, d’après la formule des probabilités totales :
p(A) = p(AÇS) + p(AÇ) = p(A/S) p(S)
+ p(A/) p()
donc p(A) = 0,05 ´
0,8 +
0,3 ´
0,2 =
0,04 + 0,06
d’où p(A) =
0,1 .
2. On observe une série de 5 automobilistes arrivant successivement au carrefour.
2. a. Quelle est la probabilité pour qu’au moins l’un d’eux ait un accident au carrefour ? (0,5 point)
L’événement contraire de « Au moins l’un d’eux ait un accident au carrefour » est : « Aucun automobiliste n’a eu d’accident au carrefour » .
La probabilité de
l’événement « Un automobiliste tiré au hasard a un accident au
carrefour » est :
p() =
0,9
donc la probabilité de l’événement « Aucun automobiliste n’a eu d’accident au carrefour » est :
p( , , , , )
= (0,9)5
donc la probabilité pour qu’au
moins l’un d’eux ait un accident au carrefour est 1 – (0,9)5 = 0,40951 .
2. b. Soit X la variable aléatoire qui, à la série de 5 automobilistes, associe le nombre d’accidents survenus au carrefour. Établir la loi de probabilité de X. (Donner les résultats à 10-5 près.) (1 point)
La variable aléatoire
X peut prendre les valeurs suivantes : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ;
4 ; 5}.
Soit k un entier naturel compris entre 0 et 5 inclus :
- s’il y a k accidents (probabilité
pour chaque accident égale à 0,1), alors il y a 5 - k
automobilistes qui n’auront pas d’accident au carrefour
(probabilité qu’un automobiliste n’ait pas d’accident égale à 0,9)
- le nombre de façons de choisir les k
automobilistes qui ont un accident au carrefour est :
donc, pour tout k
appartenant à {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ,
donc :
La loi de probabilité de
la variable aléatoire X est résumée à l’aide du tableau suivant :
|
xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
p(X
= xi) |
0,59049 |
0,32805 |
0,07290 |
0,0081 |
0,00045 |
0,00001 |
2. c. Calculer l’espérance E(X) et montrer que E(X) = 0,5. (0,25 point)
L’espérance
mathématique de X se calcule ainsi :
E(X) = 0 ´ 0,59049 + 1 ´ 0,32805 + 2 ´ 0,07290 + 3 ´ 0,0081 + 4 ´ 0,00045 + 5 ´ 0,00001
E(X) = 0,5
Remarque :
On pouvait aussi
raisonner ainsi :
La probabilité d’avoir
un accident est p(A) = 0,1 ,
donc l’espérance sur
cette série de 5 accidents est (chaque accident est indépendant des
autres) :
E(X) = 5
´
0,1 = 0,5
On retrouve bien le
même résultat !
3. Un rapport statistique de la gendarmerie prétend que, sur 100 voitures arrivant au panneau “ Stop ”, une dizaine environ a un accident au carrefour. Ce rapport est-il conforme aux résultats de l’exercice ? (0,5 point)
On considère maintenant la variable aléatoire binomiale Y qui associe le nombre d’accidents à la série de 100 automobilistes arrivant au panneau “ Stop ” .
L’espérance de Y est : E(Y) = 100 ´ 0,1 = 10 , c’est-à-dire que sur un grand nombre de séries de 100 voitures, le nombre d’accidents sera en moyenne de 10 ,
donc le rapport de la gendarmerie
est conforme au résultat de l’exercice.
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