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Correction du sujet : Bac L 1999 Amérique du Nord (Juin 99)

Exercice 2 (4 points) SPECIALITE Énoncé

1. a. 1. b. 2. 3. a. 3. b.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

probabilités
logarithme népérien

Un sondage est effectué dans un conservatoire de musique :

· 60 % des élèves pratiquent un instrument à cordes (instrument C)

· 45 % pratiquent un instrument à vent (instrument V)

· 10 % pratiquent un instrument à cordes et un instrument à vent.

1. On choisit au hasard un élève du conservatoire.

1. a. Quelle est la probabilité de l’événement : “ cet élève pratique au moins un des instruments considérés ” ? (1 point)

L’évènement “ cet élève pratique au moins un des instruments considérés” est l’événement C È V : “ cet élève pratique un instrument à cordes ou un instrument à vent ”, et on a :

p(C È V) = p(C) + p(V) - p(C Ç V)

donc la probabilité que cet élève tiré au hasard pratique au moins un des instruments considérés est égale à 19/20 .

1. b. Quelle est la probabilité de l’événement : “ cet élève pratique un et un seul des instruments considérés ” ? (0,5 point)

L’événement “ cet élève pratique un et un seul des instruments considérés ” équivaut à :

“ { cet élève pratique un instrument à cordes ET ne pratique pas d’instrument à vent } OU{ cet élève pratique un instrument à vent ET ne pratique pas d’instrument à cordes } ”

ce qui se traduit par l’expression logique :

On a alors :

Nous allons maintenant calculer successivement les trois probabilités se trouvant dans le membre de droite de la dernière équation :

les événements (C Ç V) et (C Ç) forment une partition de C (car un élève qui pratique un instrument à cordes peut soit pratiquer un instrument à cordes uniquement, soit pratiquer un instrument à cordes et un instrument à vent), donc :

Or on a :

donc :

de même, les événements (Ç V) et (C ÇV) forment une partition de V, donc :

Or on a :

donc :

les ensembles logiques (C Ç) et ( ÇV) sont disjoints car si un élève pratique uniquement un instrument à cordes, il ne peut pas pratiquer uniquement un instrument à vent (!) , donc :

On peut alors conclure :

donc la probabilité que l’élève tiré au hasard pratique un et un seul des instruments considérés est égale à 17/20 .

2. On choisit, au hasard, un élève pratiquant un instrument C. Quelle est la probabilité que cet élève pratique un instrument V ? (0,5 point)

La probabilité que l’élève pratique un instrument à vent sachant qu’il pratique un instrument à cordes est :

donc la probabilité que l’élève pratiquant un instrument à cordes pratique aussi un instrument à vent est égale à 1/6 .

Remarque :

Tous les résultats des questions ci-dessus pouvaient se calculer en construisant le tableau suivant. Cependant la méthode utilisée ci-dessus reste la plus rigoureuse d’un point de vue mathématique. (En gras : données de l’énoncé)

(%)	C		Total
V	10	35	45
	50	5	55
Total	60	40	100

3. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On choisit au hasard n élèves. On suppose que le nombre d’élèves du conservatoire est suffisamment grand pour que la probabilité de rencontrer un instrumentiste du type donné soit constante au cours du sondage.

3. a. Quelle est la probabilité p_n qu’au moins un des élèves choisis pratique un instrument C ? (1 point)

“ Au moins un élève pratique un instrument à cordes ” est l’événement contraire de l’événement “ aucun élève ne pratique un instrument à cordes ”.

Comme la probabilité de rencontrer un instrumentiste d’un type donné est constante (cf. énoncé), la probabilité de choisir n élèves ne pratiquant pas un instrument à cordes est :

donc la probabilité p_n de cet événement est :

3. b. Déterminer le plus petit entier n tel que p_n ³ 0,999 . Justifier. (1 point)

p_n ³ 0,999 ó 1 – (2/5)ⁿ ³ 0,999

ó (2/5)ⁿ £ 0,001

ó ln[(2/5)ⁿ] £ ln(0,001) (car la fonction ln est une fonction croissante sur ]0 ; +¥[)

ó n ln(2/5) £ ln(0,001)

ó n ³ [ ln(0,001) / ln(2/5) ] (car ln(2/5) < 0 , car 0 < 2/5 < 1 )

donc la probabilité de rencontrer un élève qui pratique un instrument à cordes est supérieure à 0,999 lorsqu’on interroge au moins 8 élèves.