Correction du sujet : Bac L 1999 Amérique du Nord (Juin 99)

Exercice 1 (5 points) SPECIALITE Énoncé

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

lecture graphique
tangente et nombre dérivé
logarithme népérien
étude de fonction

La courbe ci-dessous est la représentation graphique dans un repère (O ; i , j) d’une fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +¥[ .

La droite (T) est sa tangente au point d’abscisse 1.

1. Par lecture graphique :

1. a. Donner les valeurs de f(1/e) , de f ’(1). (1 point)

En lisant graphiquement le graphe fourni, on obtient sans difficulté :

f(1/e) = -2/e

La dérivée s’interprétant graphiquement comme la pente de la courbe (ou le coefficient directeur de sa tangente), on obtient f ’(1) en lisant sur le graphe le coefficient directeur de la tangente (T). (On rappelle que le coefficient directeur d’une droite se calcule par la formule : m=(y₂-y₁)/(x₂-x₁), où (x₁,y₁) et (x₂,y₂) sont les coordonnées de M₁ et M₂, deux points quelconques de la droite étudiée).

On obtient alors :

f ’(1) = 2

1. b. Dresser le tableau de signes de f sur l’intervalle ]0 ; 3]. (0,5 point)

Pour établir le tableau de signes de f sur ]0 ; 3] , nous lisons sur le graphe fourni la position de la courbe représentative de f par rapport à l’axe des abscisses :

· sur ]0 ; 1[ , la courbe représentative de f est en-dessous de l’axe des abscisses ;

· sur ]1 ; +¥[ , la courbe représentative de f est au-dessus de l’axe des abscisses ;

· la courbe représentative de f coupe l’axe des abscisses en x = 1 .

On obtient alors le tableau de signe de f sur ]0 ; 3] :

2. On admet que f est la fonction définie sur ]0 ; +¥[ par f ’(x) = (ax + b) ln x (a et b sont des nombres réels).

2. a. Soit f ’ la fonction dérivée de f. Exprimer f ’(x) en fonction de a et b. (0,5 point)

Etudions d’abord la dérivabilité de f . On a que :

la fonction qui à x associe ax + b est dérivable sur ]0 ; +¥[
la fonction logarithme est dérivable sur ]0 ; +¥[

donc f est dérivable sur ]0 ; +¥[ , en tant que produit de fonction dérivables.

Posons :

u(x) = ax + b , d’où u’(x) = a
v(x) = ln x , d’où v’(x) = 1/x .

Par les formules du cours, on a alors f ’ = u’v + uv’ , d’où :

f ’(x) = a lnx + (ax +b)/x

2. b. Déterminer alors les valeurs de a et b en utilisant la question 1. a. . (1 point)

Comme f(1/e) = -2/e (cf. question 1. a.) et que ln(1/e) = -1 , on obtient : -2/e = -(a/e) + b .

D’autre part, on sait que f ’(1) = 2 (cf. question 1. a.), donc : 2 = a + b .

On en déduit alors que si a et b existent, ils sont solutions du système :

Résolvons ce système :

En additionnant membre à membre, on obtient :

Comme 1+e est non nul, on en déduit :

donc la fonction f s’écrit f(x) = 2x ln(x) .

3. L’une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique d’une primitive de f sur ]0 ; +¥[.

Indiquer le numéro de cette courbe en précisant les raisons de votre choix. (1 point)

Appelons F une primitive de f sur ]0 ; +¥[ . Pour tout réel x de ]0 ; +¥[ , on a donc F ’(x) = f(x) .

Le signe de F ’ est donc le même que celui de f étudié à la question 1. b. .

On en déduit du tableau de signe obtenu à cette question que :

F est décroissante sur ]0 ; 1[ ;
F est décroissante sur ]1 ; 3[ ;
la courbe représentative de F admet une tangente horizontale en x = 1 .

L’unique courbe vérifiant ces trois propriétés est la courbe 2 qui est donc la représentation graphique d’une primitive de f .

4. On considère les fonctions G et H définies sur ]0 ; +¥[ par

L’une d’entre elles est une primitive de f sur ]0 ; +¥[ de la question 3. Laquelle ? Justifier. (1 point)

G et H sont deux fonctions dérivables sur ]0 ; +¥[ en tant que produit de fonctions dérivables et on a pour tout x de ]0 ; +¥[ :

d’où G ’(x) = x - 2x ln x .

d’où H’(x) = 2x ln x.

L’unique fonction dont la dérivée est égale à f est H ,

donc H est une primitive de f sur ]0 ; +¥[ .