School Angels

Bac ES 1999 Maroc (Juin 99)

Problème (11 points) Corrigé

L’objet de ce problème est l’étude d’une fonction et le tracé de sa représentation graphique (Partie B) s’appuyant sur l’étude d’une fonction auxiliaire (Partie A).

On calculera enfin une aire (Partie C).

On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats.

Partie A

1. Soient a , b et c des nombres réels. On définit une fonction g sur par g(x) = (ax+b)e^{- x} + c. On note g’ la fonction dérivée de g.

1. a. Calculer g’(x) . (0,5 point)

1. b. Le tableau de variation de g est le suivant :

En utilisant les données numériques de ce tableau, établir que a = 1, b = - 1 et c = 2 . (1 point)

Ainsi, pour la suite du problème : g(x) = (x-1)e^-x + 2 .

2. a. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique dans l’intervalle [-1 ; 0].

On note a cette solution. (1 point)

2. b. Déterminer à l’aide de la calculatrice la valeur décimale arrondie au dixième de a . (0,25 point)

3. Étudier le signe de g(x) pour x appartenant à . (0,5 point)

Partie B

Soit f la fonction définie sur par f(x) = 2x + 1 - xe^-x.

1. a. Déterminer la limite de f en +¥ (on admettra que lim _x_®₊_¥ e^x/x = +¥ ). (0,5 point)

1. b. Déterminer la limite de f en -¥ (on pourra mettre x en facteur dans l’expression de f(x) ). (1 point)

2. a. Soit f ’ la fonction dérivée de f. Montrer que f ’(x) = g(x) . (0,5 point)

2. b. Dresser, en le justifiant, le tableau de variation de f sur . (0,5 point)

3. Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; i , j ) , on appelle (C) la représentation graphique de f et (D) la droite d’équation y = 2x + 1.

3. a. Déterminer lim _x_®₊_¥ [f(x) - (2x+1)] . (0,5 point)

3. b. Donner une interprétation graphique de ce résultat. (0,5 point)

3. c. Étudier la position de (C) par rapport à (D) . (1 point)

3. d. Tracer (D) et (C) dans le plan muni du repère orthonormal (O ; i , j ) . On prendra pour unité graphique 2 cm. (1 point)

Partie C

Soient H la fonction définie sur par H(x) = - e^-x(1+x) et h la fonction définie sur par h(x) = xe^{- x}.

1. Montrer que la fonction H est une primitive sur de la fonction h . (1 point)

2. Hachurer sur le graphique précédent le domaine limité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d’équations x = 0 et x = 1 . (0,25 point)

3. Calculer l’aire S en cm² du domaine hachuré. (1 point)