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Correction du sujet : Bac ES 1999 Maroc (Juin 99)

Problème (11 points) Énoncé

Partie A : 1. a. 1. b. 2. a. 2. b. 3.

Partie B : 1. a. 1. b. 2. a. 2. b. 3. a. 3. b. 3. c. 3. d.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

étude de fonction
équation du type f(x)=0
exponentielle
intégration et calcul d’aire

L’objet de ce problème est l’étude d’une fonction et le tracé de sa représentation graphique (Partie B) s’appuyant sur l’étude d’une fonction auxiliaire (Partie A).

On calculera enfin une aire (Partie C).

On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant aux résultats.

Partie A :

1. Soient a, b et c des nombres réels. On définit une fonction g sur par g(x) = (ax+b)e^-x + c. On note g’ la fonction dérivée de g.

1. a. Calculer g’(x). (0,5 point)

On voit que l’on doit dériver un produit de fonctions. On définit sur deux fonctions u et v dérivables :

u(x) = ax + b d’où u’(x) = a
v(x) = e^-x d’où v’(x) = -e^-x

Comme u et v sont dérivables sur , le théorème de dérivation d’un produit de fonctions nous permet de déduire que le produit (uv) est dérivable sur et que l’on a :

(uv)’ = u’v + uv’

d’où :

g’(x) = ae^-x - (ax+b)e^-x

g’(x) = (a - ax - b) e^-x

g’(x) = (-ax + a - b) e ^-^x

1. b. Le tableau de variation de g est le suivant :

En utilisant les données numériques de ce tableau, établir que a = 1 , b = - 1 et c = 2. (1 point)

Ainsi, pour la suite du problème : g(x) = (x - 1)e^-x + 2.

En lisant le tableau de variation de g , nous apprenons que :

g(0) = 1
g(1) = 2
g’(2) = 0

Or on a g(x) = (ax+b)e^{- x} + c , d’où :

g(0) = b + c
g(1) = (a+b)e^-1 + c
g’(2) = (-a-b)e^-2

Pour trouver a , b et c , on doit donc résoudre le système :

donc pour tout réel x, g(x) = (x-1)e^-^x + 2 .

2. a. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique dans l’intervalle [-1 ; 0].

On note a cette solution. (1 point)

On a g(-1) = -2e + 2 = -3,4 à 10^-1 près et g(1) = 1 , donc on sait que :

sur [-1 ; 0], g est dérivable, strictement croissante
g(-1) < 0
g(0) > 0

donc l’équation g(x) = 0 admet une solution unique a dans l’intervalle [- 1 ; 0] .

2. b. Déterminer à l’aide de la calculatrice la valeur décimale arrondie au dixième de a . (0,25 point)

On a :

g(-0,38) = -0,018 < 0
g(-0,37) = 0,017 > 0

donc nous avons a = - 0,4 à 10^-1 près.

3. Étudier le signe de g(x) pour x appartenant à . (0,5 point)

D’après le tableau de variations de g ,

pour tout x de ]-¥ ; a[ , on a g(x) < g(a) donc g(x) < 0 ;
pour tout x de ] a ; 2[ , on a g(x) > g(a) donc g(x) > 0 ;
lim _x_®₊_¥ g(x) = 2 , donc pour tout x de ]2 ; +¥[ g(x) > 2 , donc g(x) > 0 .

On en déduit le tableau de signe de g(x) :

Partie B :

Soit f la fonction définie sur par f(x) = 2x + 1 - xe^-x.

1. a. Déterminer la limite de f en +¥ (on admettra que lim _x_®+_¥ e^x/x = +¥ ). (0,5 point)

On sait que xe^-x = x/e^x et on admet, conformément aux instructions de l’énoncé que lim _x_®₊_¥ e^x/x = +¥ .

On a alors :

lim _x_®₊_¥ (2x +1) = +¥ ,
lim _x_®₊_¥ (x e^-x) = 0 ,

donc, d’après les théorèmes sur les opérations algébriques sur les limites, on obtient

lim _x_®₊_¥ f(x) = +¥

1. b. Déterminer la limite de f en -¥ (on pourra mettre x en facteur dans l’expression de f(x) ). (1 point)

Comme le suggère l’énoncé, factorisons f(x) par x . Pour tout x de , on a :

Or on a :

lim _x_®_-_¥ e^x = 0⁺ donc lim _x_®_-_¥ 1/e^x = +¥ ,
lim _x_®_-_¥ [2 + (1/x)] = 2 ,

donc, d’après les théorèmes sur les opérations algébriques sur les limites, on déduit que :

lim _x_®_-_¥ f(x) = +¥ .

2. a. Soit f ' la fonction dérivée de f. Montrer que f '(x) = g(x). (0,5 point)

On a pour tout réel x appartenant à , f(x) = 2x + 1 - xe^-x ,

Donc, d’après les théorèmes de dérivation de somme et de produit de fonctions, on a, pour tout réel x :

f ’(x) = 2 - (e^-^x - xe^-x)

f ’(x) = 2 - e^-^x + xe^-x

f ’(x) = 2 + (x - 1)e^{- x}

d’où f ’(x) = g(x) , pour tout x réel.

2. b. Dresser, en le justifiant, le tableau de variation de f sur . (0,5 point)

Comme pour tout x réel, on a f ’(x) = g(x) , le signe de f ’(x) est celui de g(x) , que l’on avait étudié à la question A. 3. .

Nous en déduisons le tableau de variations de f :

avec f(a) = 2a + 1 - a e^-^a .

3. Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; i , j ) , on appelle (C) la représentation graphique de f et (D) la droite d’équation y = 2x + 1.

3. a. Déterminer lim _x_®+_¥ [f(x) - (2x+1)]. (0,5 point)

Pour tout réel x , on a f(x) - (2x+1) = - xe^-x = - x/e^x , donc :

lim _x_®₊_¥ [f(x) - (2x + 1)] = lim _x_®₊_¥ (-x/e^x)

Or on a lim _x_®₊_¥ (e^x/x) = 0+ . (car par hypothèse de l’énoncé à la question B. 1. a. )

D’où lim _x_®₊_¥ [f(x) - (2x+1)] = 0^- .

3. b. Donner une interprétation graphique de ce résultat. (0,5 point)

On déduit du résultat précédent que la droite d’équation y = 2x + 1 est asymptote à (C) , courbe représentative de f au voisinage de +¥ .

3. c. Étudier la position de (C) par rapport à (D). (1 point)

Pour tout réel x , on a

f(x) - (2x + 1) = - xe^{- x}

Or une exponentielle est toujours positive, donc - xe^-x est de signe opposé de celui de x , donc :

f(x) - (2x + 1) > 0 sur ]-¥ ; 0[ ;
f(x) - (2x + 1) < 0 sur ]0 ; +¥[ .

donc :

(C) est au-dessus de (D) sur ]-¥ ; 0[ ;
(C) est au-dessous de (D) sur ]0 ; +¥[ .

3. d. Tracer (D) et (C) dans le plan muni du repère orthonormal (O ; i , j ) . On prendra pour unité graphique 2 cm. (1 point)

Partie C :

Soient H la fonction définie sur par H(x) = - e^-x(1+x) et h la fonction définie sur R par h(x) = xe^{- x}.

1. Montrer que la fonction H est une primitive sur de la fonction h. (1 point)

Définissons u et v deux fonctions définies et dérivables sur :

u(x) = -e^-x d’où u’(x) = e^-x
v(x) = 1+x d’où v’(x) = 1

On a H = uv , donc d’après les théorèmes de dérivation d’un produit de fonctions, H est dérivable et on a :

H’ = u’v + uv’

donc, pour tout réel x, on a :

H’(x) = e^-x(1 + x) - e^-x

H’(x) = xe^-x

d’où H’(x) = h(x) .

donc H est une primitive de h sur .

2. Hachurer sur le graphique précédent le domaine limité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d’équations x = 0 et x = 1. (0,25 point)

3. Calculer l’aire S en cm² du domaine hachuré. (1 point)

(D) étant au-dessus de (C) sur [0 ;1] , on en déduit S en unités d’aires :

Or, d’après le résultat de la question C. 2. , une primitive de h est la fonction H , avec, pour tout x réel, H(x) = -e^-x(1+x) , d’où :

S = H(1) – H(0) = (-e^-1(1+1)) - (-e⁰(1+0))

d’où S = 1-2e^-1 (unités d’aire).

L’unité graphique étant de 2 centimètres, une unités d’aire vaut 2 ´ 2 = 4 cm² ,

d’où S = 4 - 8e^-1 cm² .

Une valeur approchée de S est 1,06 cm².