Correction du sujet : Bac ES 1999 Maroc (Juin 99)

Exercice 2 (5 points) SPECIALITE Énoncé

1. 2. 3. a. 3. b. 3. c. 4. a. 4. b. 5.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

• suite géométrique
• logarithme népérien

Le salaire annuel d’un technicien s’élevait pour l’année 1998 à 90000 F.

Chaque année son employeur décide de l’augmenter de 2 % et de lui allouer en plus 5000 F.

On désigne par S₀ le salaire du technicien pour l’année 1998. Pour tout entier naturel n, on désigne par S_n son salaire pour l’année (1998 + n).

Par exemple : S₂ est le salaire du technicien pour l’année 2000.

1. Calculer S₁ et S₂. (0,75 point)

On rappelle que 2 % = 0,02 ! Le coefficient multiplicateur entre deux années sera donc 1 + 0,02 = 1,02 .

On a :

• S₁ = S₀ + 0,02 S₀ + 5000 = 1,02 ´ 90000 + 5000

donc S₁ = 96 800 F .

• S₂ = 1,02 S₁ + 5000 = 1,02 ´ 96800 + 5000

donc S₂ = 103 736 F .

2. Pour tout entier naturel n, exprimer S_n+1 en fonction de S_n. (0,5 point)

Chaque année, le salaire est multiplié par 1,02 et on ajoute 5000 francs, donc, pour tout entier naturel n, on a :

S_n+1 = 1,02 ´ S_n + 5000 .

3. On définit la suite (U_n) par U_n = S_n + 250000 pour tout entier naturel n.

3. a. Calculer U₀ (0,25 point)

On a :

U₀ = S₀ + 250000

U₀ = 90000 + 250000

d’où :

U₀ = 340 000 .

3. b. Montrer que la suite (U_n) est une suite géométrique de raison 1,02 . (1 point)

Pour tout entier naturel n, on a :

U_n+1 = S_n+1 + 250000

U_n+1 = 1,02 ´ S_n + 5000 + 250000

U_n+1 = 1,02 ´ S_n + 255000

U_n+1 = 1,02 ´ S_n + 1,02 ´ 250000

U_n+1 = 1,02 ´ (S_n + 250000)

U_{n + 1} = 1,02 ´ U_n .

donc la suite (U_n) est géométrique de raison 1,02 et de premier terme U₀ = 340 000 .

3. c. Exprimer U_n en fonction de n. (0,5 point)

Comme U_n est une suite géométrique, on a, pour tout entier naturel n :

U_n = U₀ ´ (1,02)ⁿ

d’où U_n = 340000 ´ (1,02)ⁿ .

4. a. Exprimer S_n en fonction de n. (0,5 point)

Par hypothèse (question 3.), on a, pour tout entier naturel n , U_n = S_n + 250 000 , d’où :

S_n = U_n - 250000

S_n = 340000 ´ (1,02)ⁿ - 250000

4. b. En déduire le salaire prévu pour l’année 2005. (0,5 point)

Le salaire prévu en 2005 est donné par S₇ et on a :

S₇ = 340000 ´ (1,02)⁷ - 250000

S₇ » 140 553 .

donc le salaire prévu pour l’année 2005 se monte à 140 553 francs , à 1 franc près.

5. À partir de quelle année le salaire de ce technicien aura-t-il doublé ? (1 point)

Si le salaire du technicien double, alors on aura : S_n = 2 S₀ , d’où :

S_n = 2 S₀

340000 ´ (1,02)ⁿ - 250000 = 2 ´ 90000

340000 ´ (1,02)ⁿ = 430000

( la fonction logarithme népérien étant strictement monotone, pour tous réels a et b strictement positifs,

on a : a = b ó ln(a) = ln(b) , d’où : )

Comme ln(1,02) est différent de zéro, on a :

On a :

donc le salaire du technicien aura doublé quand on aura n =12, c’est à dire à partir de l’année 2010 !

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