Correction du sujet : Bac ES 1999 Maroc (Juin 99)

Exercice 2 (5 points) Énoncé

1. 2. a. 2. b. 2. c. 3. 4.

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

• probabilités
• arbre pondéré

Une étude statistique indique que 95 % des téléviseurs fabriqués par une entreprise sont en état de fonctionnement. On fait subir à chaque appareil un test de contrôle.

On constate que :

· quand un appareil est en état de fonctionnement, il est accepté dans 96 % des cas à l’issue du test,

· quand un appareil n’est pas en état de fonctionnement, il est néanmoins accepté dans 8 % des cas à l’issue du test.

On choisit au hasard un téléviseur fabriqué par l’entreprise.

On définit les événements suivants :

· F : “ Le téléviseur est en état de fonctionnement. ”

· T : “ Le téléviseur est accepté à l’issue du test. ”

·  : “ Le téléviseur est refusé à l’issue du test. ”

Ainsi :

· la probabilité de l’événement F, notée P(F), est 0,95 ;

· la probabilité P(T/F) qu’un téléviseur soit accepté à l’issue du test sachant qu’il est en état de fonctionnement est 0,96.

1. Calculer la probabilité que le téléviseur ne soit pas en état de fonctionnement. (0,5 point)

A partir des données de l’énoncé, on peut établir l’arbre pondéré suivant :

“ Le téléviseur n’est pas en état de fonctionnement ” est l’événement contraire de F , donc on peut écrire :

p() = 1 – p(F)

d’où p()= 1 – 0,95 ,

d’où p()= 0,05 ,

donc la probabilité que le téléviseur ne soit pas en état de fonctionnement est égale à 0,05.

2. a. Calculer la probabilité qu’un téléviseur soit refusé à l’issue du test sachant qu’il est en état de fonctionnement. (0,5 point)

La probabilité qu’un téléviseur soit refusé à l’issue du test sachant qu’il est en état de fonctionnement est p(/F) et on a :

p(/F) + p(T/F) = 1

p(T/F) = 1 - p(/F)

Or, par hypothèse, quand un appareil est en état de fonctionnement, il est accepté dans 96 % des cas, donc on a :

p(T/F) = 0,96 ,

d’où p(/F) = 1 - 0,96 ,

d’où p(/F) = 0,04 ,

donc la probabilité que le téléviseur soit refusé à l’issue du test sachant qu’il est en état de fonctionnement est égale à 0,04 .

2. b. Calculer la probabilité que le téléviseur soit refusé à l’issue du test et qu’il soit en état de fonctionnement. (1 point)

“ Le téléviseur est refusé à l’issue du test et il est en état de fonctionnement ” est l’événement ÇF . On doit donc calculer p(ÇF) . On a :

p(ÇF) = p(/F) ´ p(F)

d’où p(ÇF) = 0,04 ´ 0,95

d’où p(ÇF) = 0,038 .

donc la probabilité que le téléviseur soit refusé à l’issue du test et qu’il soit en état de fonctionnement est égale à 0,038 .

2. c. Calculer la probabilité que le téléviseur soit refusé à l’issue du test et qu’il ne soit pas en état de fonctionnement. (1 point)

“ Le téléviseur est refusé à l’issue du test et il n’est pas en état de fonctionnement ” est l’événement Ç . On doit donc calculer p(Ç) . On a :

p(Ç) = p(/) ´ p()

On sait que p() = 0,05 . Calculons p(/) . On a :

p(/) + p(T/) = 1

d’où p(/) = 1 - p(T/) .

Or, par hypothèse, 8 % des téléviseurs qui ne sont pas en état de fonctionnement sont acceptés à l’issue du test,

donc on a p(T/) = 0,08

d’où p(/) = 1 – 0,08 = 0,92 .

d’où p(Ç) = 0,92 ´ 0,05

d’où p(Ç) = 0,046 .

donc la probabilité que le téléviseur soit refusé à l’issue du test et ne soit pas en état de fonctionnement est égale à 0,046 .

3. En déduire la probabilité pour que le téléviseur soit refusé à l’issue du test. (1 point)

Les évènements F et forment une partition de l’univers (en effet, soit un téléviseur est en état de marche, soit il n’est pas en état de marche et il n’y a pas d’autre possibilité !). On a donc, d’après la formule des probabilités totales :

p() = p(ÇF) + p(Ç)

On en déduit, en utilisant les résultats des questions précédentes :

p() = 0,038 + 0,046

d’où p() = 0,084 .

donc la probabilité que le téléviseur soit refusé à l’issue du test est égale à 0,084 .

4. Quelle est la probabilité pour qu’un téléviseur soit en état de fonctionnement sachant qu’il est refusé à l’issue du test ? (On donnera la valeur décimale, arrondie au millième, du résultat.) (1 point)

La probabilité qu’un téléviseur soit en état de fonctionnement sachant qu’il est refusé au test est p(F/) et l’on a :

donc la probabilité que le téléviseur soit en état de fonctionnement sachant qu’il est refusé au test est égale à 0,452 au millième près.

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