Correction du sujet : Bac ES 1999 Antilles - Guyane (Juin 99)
Exercice
2 (5 points) Énoncé
Ce sujet nécessite de connaître
les points suivants du cours :
- statistiques
- coefficient de corrélation linéaire
- ajustement affine
Le tableau suivant donne la moyenne y des maxima de tension artérielle en fonction de l’âge x d’une population donnée.
|
Age x |
36 |
42 |
48 |
54 |
60 |
66 |
|
Tension y |
12 |
13,5 |
12,6 |
14,3 |
15,4 |
15 |
1. Représenter graphiquement le nuage de points M (x ; y) dans un repère orthogonal. On prendra pour unités graphiques 0,5 cm pour 1 an en abscisse et 3 cm en ordonnée pour l’unité de tension artérielle, l’origine correspond au point I de coordonnées (30 ; 10). (1 point)
2. Dans cette partie, vous pourrez utiliser votre calculatrice.
2. a. Calculer à 10-2 près le coefficient de corrélation entre x et y.
On admet qu’un ajustement par la méthode des moindres carrés est justifié. (1 point)
Le
coefficient de corrélation linéaire se calcule à l’aide de la formule :
Avec :
On
a alors :
d’où :
d’où :
Le
coefficient de corrélation linéaire entre x et y est égal à -0,89 à 10 - 2 près.
L’ajustement
affine est justifié puisque r est très
proche de –1 .
2. b. Déterminer l’équation de la droite de régression de y en x et la représenter (les coefficients seront donnés à 0,001 près). (1 point)
Une équation de la droite de régression de y en x , obtenue par la méthode des moindres carrés est y = a x + b , avec :
On a alors :
Une équation de la droite d’ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés est donc :
y = 0,107 x + 8,360 .
2. c. Une personne de 70 ans a une tension de 16,1. Quelle serait sa tension théorique en utilisant la droite de régression ?
Comparer avec la tension réelle. (0,5 point)
La tension artérielle théorique d’une personne de 70
ans serait, en utilisant la droite de régression : 0,107 ´ 70 + 8,36 = 15,85 .
La tension artérielle théorique (15,85) est donc inférieure à celle de cette personne
de 70 ans (16,1) .
2. d. Compléter le tableau ci-dessous (Annexe I) en utilisant les valeurs de "a" et de "b" obtenues pour la droite de régression. (0,5 point)
Calculer la somme des “ carrés ” de la dernière colonne associée à cet ajustement (calcul de la somme des résidus associés à cet ajustement). (1 point)
Annexe I
À rendre avec la copie (après l’avoir complétée)
|
a = b = |
|
|||
|
xi |
yi |
axi + b |
yi - (a.xi + b) |
[yi - (a.xi + b)]² |
|
36 |
12 |
|
|
|
|
42 |
13,5 |
|
|
|
|
48 |
12,6 |
|
|
|
|
54 |
14,3 |
|
|
|
|
60 |
15,4 |
|
|
|
|
66 |
15 |
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|
|
||||
|
Somme des "carrés" de la dernière colonne : |
||||
On
a : a = 0,107 et b = 8,36 , d’où :
|
a = 0,107 b = 8,360 |
|
|||
|
xi |
yi |
axi
+ b |
yi
- (a.xi + b) |
[yi
- (a.xi + b)]² |
|
36 |
12 |
12,212 |
- 0,212 |
0,044944 |
|
42 |
13,5 |
12,854 |
0,646 |
0,417316 |
|
48 |
12,6 |
13,496 |
- 0,896 |
0,802816 |
|
54 |
14,3 |
14,138 |
0,162 |
0,026244 |
|
60 |
15,4 |
14,780 |
0,62 |
0,3844 |
|
66 |
15 |
15,422 |
- 0,422 |
0,178084 |
|
|
||||
|
Somme des "carrés" de la dernière
colonne : 1,853804 |
||||