Définition

Considérons un ensemble fini sur lequel une probabilité est définie.

Une variable aléatoire sur est une fonction qui à tout événement élémentaire {e} associe un nombre réel X(e).

Remarque :

Le terme de "variable aléatoire" est un peu aberrant puisqu'il s'agit en fait d'une fonction (!) qui n'a rien d'aléatoire.

La définition peut paraitre un peu aride, le mieux pour comprendre cette notion reste de regarder un exemple ... rendez-vous dans les annales !

Définition

Soit X une variable aléatoire définie sur un ensemble d'événements.

La fonction de répartition de X est la fonction définie sur et à valeurs dans [0,1] par :

F(x) = p(X x)

Définition

Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs xi . L'espérance mathématique de X , notée E(X) est :

Remarque :

Considérons un axe réel (O,). L'espérance peut être considérée comme le barycentre des points d'abscisses xi affectés du coefficient p(X=xi) .

L'espérance mathématique représente une moyenne pondérée qui donne une estimation du résultat moyen que l'on peut obtenir (d'où le terme d' "espérance").

Définition

On appelle variance de la variable aléatoire X le nombre :

Définition

On appelle écart-type de la variable aléatoire X , noté (X) , le nombre :

Définition

Soit A et B deux parties d'un espace probabilisé de probabilité p. On suppose que la partie A de est telle que p(A) 0.

On appelle probabilité conditionnelle de l'évènement B par rapport à l'événement A (ou probabilité de B sachant A), notée p(B/A) , le nombre :

Propriété

p(AB)  =  p(A) p(B/A)  =  p(B) p(A/B)

Définition

Soit A et B deux parties d'un espace probabilisé de probabilité p.

On dit que A et B sont indépendants si et seulement si :

p(AB)  =  p(A) p(B)

Remarque :

D'après le paragraphe précédent, cette formule traduit simplement que  p(B/A) = p(B)  , autrement dit que A n'a aucune influence sur B, c'est à dire que A et B sont indépendants !

Propriété

A et B sont indépendants

p(AB)  =  p(A) p(B)

p(A/B)  =  p(A)

p(B/A)  =  p(B)

Définition

Des sous-ensembles B1, B2, ... , Bn d'un ensemble fini forment une partition de si :

les sous-ensembles Bi sont deux à deux disjoints

=  B1 U B2 U ... U Bn

Théorème

Si B1, B2, ... , Bn forment une partition de , la probabilité p(A) d'un évènement A quelconque de est égale à :

p(A)  =  p(B1).p(A/B1) + p(B2).p(A/B2) + ... + p(Bn).p(A/Bn)

Remarque :

Les événements B1 , B2 , B3 étant disjoints et comme  B1 U B2 U B3 = , ils forment une partition de et on a :

p(A)  =  p(AB1) + p(AB2) + p(AB3)

d'où :

p(A)  =  p(B1).p(A/B1) + p(B2).p(A/B2) + p(B3).p(A/B3)

et on a retrouvé la formule des probabilités totales dans le cas n = 3 .