Dans tout ce qui suit, on rapporte le plan orienté à un repère orthonormal direct (O,,). L'ensemble des vecteurs du plan est noté V.

Définition

Soit une courbe du plan et I un intervalle de .

On appelle système d'équations paramétriques de tout système donnant, en fonction d'un paramètre t appartenant à I, les coordonnées x(t) et y(t) d'un point décrivant :

Définition (autre formulation)

Soit :

I un intervalle de

f et g deux fonctions définies sur I et à valeurs dans

t une variable réelle appartenant à I

L'ensemble des points M du plan dont les coordonnées satisfont au système

est une courbe paramétrée de paramètre t.

Remarque :

Considérons le système d'équations paramétriques suivant :

On voit que l'on peut obtenir très facilement  y = f(x)  : les fonctions que nous étudions ne sont en fait que des cas particuliers de courbes paramétrées !

Formule   Droite paramétrée

Soit a, b, c et d réels. Tout système d'équations paramétriques de la forme

représente une droite passant par le point M0 de coordonnées (a,b) et de vecteur directeur (c,d).

En effet, appelons M un point quelconque de cette droite. M0 et M appartenant tous les deux à cette droite, le vecteur est colinéaire au vecteur ,

donc il existe un réel t tel que  = t , et en projetant sur chaque axe, on retrouve le système ci-dessus.

Exemple :

Déterminons une équation cartésienne de la droite (D) définie par le système d'équations paramétriques suivant :

On élimine le paramètre t en multipliant la première équation par 2 :

puis en les soustrayant :

2x - y = 1

donc une équation cartésienne de la droite (D) est   y = 2x - 1 .

Formule   Cercle paramétré

Soit a, b et R réels. Tout système d'équations paramétriques de la forme :

représente un cercle de centre (a,b) et de rayon R .

Démonstration :

Tout d'abord on isole dans chaque équation les fonctions trigonométriques :

puis on élève au carré :

additionons maintenant les deux équations puis factorisons le second membre par R² :

(x-a)² + (y-b)²  =  R²cos²(t) + R²sin²(t)

(x-a)² + (y-b)²  =  R²[cos²(t) + sin²(t)]

On applique la relation fondamentale de la trigonométrie ( cos²(t) + sin²(t) = 1  , pour tout t de ) et on obtient l'équation cartésienne d'un cercle de centre (a,b) et de rayon R :

(x-a)² + (y-b)²  =  R²

Formule   Ellipse paramétrée

Soit a, b réels. Tout système d'équations paramétriques de la forme :

représente une ellipse de centre O, d'axes (O,) et (O,) et de longueur de demi-axes respectives a et b.

Remarque :

On démontre très facilement ceci en procédant comme pour le cercle : faire apparaitre la relation fondamentale de la trigonométrie. On obtient alors :