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1. Définition et conséquences 

Définition
La fonction logarithme népérien est définie sur l'intervalle ]0;+[.
Sur cet intervalle, la fontion logarithme népérien est la primitive, nulle en 1, de la fonction x 1/x .
La fonction logarithme népérien est notée ln.

Propriété
La fonction ln est dérivable sur ]0;+[ et on a, pour tout x > 0,  ln'(x) = 1/x .

Propriété
    ln(1) = 0

Propriété
La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+[.
    ln x > ln y         x > y
    ln x < ln y         x < y
    ln x > 0         x > 1   (car ln 1 = 0)
    ln x < 0         0 < x < 1

2. Propriétés algébriques de la fonction  ln 

Théorème   Relation fondamentale
Pour tous réels a > 0 et b > 0 ,     ln(ab) = ln(a) + ln(b)

Propriété
Pour tous réels a > 0 et b > 0 ,
    ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
    ln(1/b) = -ln(b)

Propriété
Pour tous réels a1 > 0 , a2 > 0 , ... , ap > 0 , on a :
    ln(a1a2...ap)  =  ln(a1) + ln(a2) + ... + ln(ap)

Propriété
Pour tout réel a > 0 et tout entier relatif k, on a :
    ln(ak)  =  k ln(a)

Remarque :
ln(x²) est défini pour tout réel x non nul. Or on a  ln(x²) = 2 ln(x)  et ln(x) est défini pour x > 0 ! Il faut donc écrire :
    pour x > 0 , ln(x²) = 2 ln(x)
    pour x < 0 , ln(x²) = 2 ln(-x)
Dans l'énoncé de la propriété précédente, la condition a > 0 est donc très importante ... attention donc, quand vous rédigez à ce que tout soit bien correct en terme de domaine de définition !

Propriété
Pour tout réel a > 0, on a :
    ln()  =  (ln a)/2

3. Equation  ln(x) = y 

Théorème
Pour tout réel y, il existe un unique réel x > 0 tel que  ln x = y .
La fonction ln réalise donc une bijection de ]0;+[ sur .

Définition
On définit le nombre e par  ln(e) = 1    (e 2,718...).
Ce nombre e est appelé base des logarithmes népériens.

Propriété
On a, pour tout k entier relatif :  ln(ek) = k       (car ln(ek) = k ln(e) = k)

Définition
Pour tout x réel, on définit le nombre ex ("exponentielle de x") comme étant le nombre dont le logarithme népérien est x :
    ln(ex) = x

4. Dérivation des fonctions du type  ln o u  et primitive de u'/u 

Propriété   Dérivée de  lnu
Soit u une fonction définie sur un intervalle I et à valeur dans + (en effet, il est indispensable d'avoir u(x)>0 pour que (lnu)(x) soit défini).
D'après les théorèmes de dérivation des fonctions composées, on a :

Propriété   Primitive de  u'/u
Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive sur I de  u'/u  est :
    lnu , lorsque u est strictement positive ;
    ln(-u) , lorsque u est strictement négative.

Remarque :
On peut également écrire en résumé qu'une primitive de  u'/u  est  ln|u|

5. Limites utiles 

Propriété   (a connaître PAR COEUR)
   
   
   


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