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1. Définition et conséquences |
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Définition |
La fonction logarithme népérien est définie sur l'intervalle ]0;+[. |
Sur cet intervalle, la fontion logarithme népérien est la primitive, nulle en 1, de la fonction x 1/x . |
La fonction logarithme népérien est notée ln. |
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Propriété |
La fonction ln est dérivable sur ]0;+[ et on a, pour tout x > 0, ln'(x) = 1/x . |
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2. Propriétés algébriques de la fonction ln |
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Théorème Relation fondamentale |
Pour tous réels a > 0 et b > 0 , ln(ab) = ln(a) + ln(b) |
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Propriété |
Pour tous réels a > 0 et b > 0 , |
ln(a/b) = ln(a) - ln(b) |
ln(1/b) = -ln(b) |
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Propriété |
Pour tout réel a > 0 et tout entier relatif k, on a : |
ln(ak) = k ln(a) |
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Remarque : |
ln(x²) est défini pour tout réel x non nul. Or on a ln(x²) = 2 ln(x) et ln(x) est défini pour x > 0 ! Il faut donc écrire : |
pour x > 0 , ln(x²) = 2 ln(x) |
pour x < 0 , ln(x²) = 2 ln(-x) |
Dans l'énoncé de la propriété précédente, la condition a > 0 est donc très importante ... attention donc, quand vous rédigez à ce que tout soit bien correct en terme de domaine de définition ! |
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Propriété |
Pour tout réel a > 0, on a : |
ln() = (ln a)/2 |
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3. Equation ln(x) = y |
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Théorème |
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Pour tout réel y, il existe un unique réel x > 0 tel que ln x = y . |
La fonction ln réalise donc une bijection de ]0;+[ sur . |
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Définition |
On définit le nombre e par ln(e) = 1 (e 2,718...). |
Ce nombre e est appelé base des logarithmes népériens. |
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Propriété |
On a, pour tout k entier relatif : ln(ek) = k (car ln(ek) = k ln(e) = k) |
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Définition |
Pour tout x réel, on définit le nombre ex ("exponentielle de x") comme étant le nombre dont le logarithme népérien est x : |
ln(ex) = x |
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4. Dérivation des fonctions du type ln o u et primitive de u'/u |
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Remarque : |
On peut également écrire en résumé qu'une primitive de u'/u est ln|u| |
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5. Limites utiles |
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Propriété (a connaître PAR COEUR) |
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