Definition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Une fonction F, définie et dérivable sur I, est appelée une primitive de f si et seulement si sa dérivée est égale à f sur I.

F' = f

Théorème

Toute fonction f dérivable sur un intervalle I admet une primitive.

Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

F admet une infinité de primitives sur I et si F est une de ses primitives, toute autre primitive de f s'écrit sous la forme  F + k , avec k réel.

Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Soit

f une fonction dérivable sur un intervalle I

x0 un réel de I

y0 un réel donné

Il existe une unique primitive F0 de f sur I telle que F0(x0) = y0 .

Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [a,b] et telle que |f| admet un majorant M sur [a,b].

f admet alors une primitive F sur [a,b] et on a :

|F(b)-F(a)| M|b-a|

Remarque :

Le théorème ci-dessus n'est autre que l'inégalité des accroissements finis avec F et f au lieu de f et f '.

Formule

Comme on l'a vu dans un théorème précédent, toutes les primitives sont définies à une constante près.

FONCTION PRIMITIVE INTERVALLE a   (constante) ax x xn ]-;0[ ou ]0;+[ ]-;0[ ou ]0;+[ 2 ]0;+[ sin x - cos x cos x sin x 1 + tan2x tan x f doit être dérivable sur un intervalle I et ne jamais s'annuler sur cet intervalle f ' f n     (n -1) f doit être dérivable sur un intervalle I f doit être dérivable et strictement positive sur I f 'g + fg' fg f et g doivent être dérivables sur I f et g doivent être dérivables sur I, g ne s'annulant pas sur I

Remarque :

Attention de toujours bien vérifier et l'ensemble de définition et l'ensemble d'intégration des fonctions !

Dans toute la suite, f et g sont deux fonctions admettant au moins une primitive sur un intervalle I.

Définition

Soit a et b deux réels d'un intervalle I.

L'intégrale de a à b de la fonction f est le réel F(b)-F(a) , où F est une primitive quelconque de f sur I.

L'intégrale de a à b de f se note :

et se lit "somme de a à b de f(t) dt".

Propriété   Interprétation graphique

Soit a et b deux réels tels que a < b et la courbe représentative de f dans un répère (O,,) orthogonal. On suppose f positive sur [a,b].

L'intégrale de a à b de f représente l'aire de la partie du plan située entre la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b , exprimée en unités d'aires.

Théorème   Relation de Chasles

Pour tous réels a, b et c de I, on a :

Théorème   Linéarité de l'intégrale

Soit a et b deux réels quelconque de I et un réel quelconque.

Théorème

Soit a et b deux réels de I, avec a b. Si f g sur [a,b], alors :

On en déduit que si f 0 sur [a,b], alors :

Théorème

Soit a et b deux réels de I.

Théorème

Soit a et b deux réels de I, avec a b .

Si il existe deux réels m et M tels que pour tout x de [a,b] , m f(x) M , alors :

Théorème

Soit a et b deux réels de I, avec a b .

Si il existe un réel M tels que pour tout x de [a,b] , |f(x)| M , alors :

Définition

Soit a et b deux réels distincts de I. On appelle valeur moyenne de f sur [a,b] le réel :

Propriété   Interprétation graphique de la valeur moyenne.

La valeur moyenne de f sur [a,b] est la valeur de la fonction constante dont l'intégrale sur [a,b] est égale à celle de f.

L'aire du rectangle EFGH (qui vaut m(b-a) ) est donc égale à l'aire du domaine délimitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations x=a et x=b qui est égale à l'intégrale de a à b de f.

En écrivant cette égalité, on retrouve immédiatement la formule de la moyenne.

Théorème   Intégration par partie

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

On a, pour tous a et b réels de I :

Démonstration :

Ce théorème est la conséquence de la formule de dérivation d'un produit : intégrons entre a et b l'expression (uv)' = u'v + uv' .

Or on a :

d'où :

Exemple :

Calculons l'intégrale de 1 à 2 de la fonction t t ln(t) . On ne connait pas de primitive de cette fonction et nous allons donc utiliser une intégration par partie. On pose :

u(t) = ln(t)   d'où   u'(t) = 1/t ;

v'(t) = t   d'où   v(t) = t²/2 .

On a alors :