Définition

La fonction exponentielle est la fonction, définie sur , qui, à chaque réel x, associe le nombre y dont le logarithme népérien est x.

La fonction exponentielle est notée exp ou e suivi d'un exposant .

Propriété

La fonction exp est dérivable sur et sa dérivée lui est égale :

pour tout x réel,   (exp)'(x) = exp(x)

Propriété

Pour tout x réel,  ex > 0

Pour tout réel x et pour tout réel y > 0 , on a :   y = ex     x = ln(y)

Pour tout réel x , ln(ex) = x

Pour tout réel x > 0 , eln(x) = x

e0 = 1

Propriété

La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

La fonction exponentielle est une bijection de sur ]0;+[ : c'est la bijection réciproque de la fonction ln .

Propriété

Pour tout x et y réels, on a :

ex < ey         x < y

ex = ey         x = y

ex > 1         x > 0     (car e0 = 1)

ex < 1         x < 0     (car e0 = 1)

Théorème   Relation fondamentale

Pour tous réels a et b,

ea+b = ea eb

Propriété

Pour tous réels a et b,

ea-b = ea/eb                   e-b = 1/eb

Propriété

Pour tous réels a1 , a2 , ... , ap , on a :

ea1+a2+...+ap  =  ea1ea2...eap

Propriété

Pour tout réel a et tout entier relatif k, on a :

(ea)k  =  eak

Théorème

La fonction exp est dérivable sur et sa dérivée lui est égale :

pour tout x réel,   (exp)'(x) = exp(x)

Propriété   Dérivation de expu

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f : x eu(x) est dérivable sur I et on a :

f '(x) = u'(x).eu(x)

Propriété   Primitive

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction x eu(x) est une primitive de la fonction x u'(x) eu(x) .

Définition

Pour tout x réel, on définit le nombre ex ("exponentielle de x") comme étant le nombre dont le logarithme népérien est x :

ln(ex) = x

Propriété   (a connaître PAR COEUR)

Remarque :

Pour cette dernière limite, on a :

Il s'agit donc en fait de la forme "limite" de la dérivée de la fonction exponentielle en 0.

Définition

Pour tous réels a > 0 et b, le nombre "a puissance b", noté ab, est le nombre qui vérifie :

ab =eb ln(a)

Théorème

Pour tous réels a et a' strictements positifs et pour tous réels b et b', on a :

ab = eb ln(a)

1b = 1         (car ln(1)=0 et e0=1 !)

(aa')b = ab a'b

(ab)b' = abb'