En maths, on est amené très fréquemment à résoudre des équations. La résolution d'équations s'est d'abord faite dans , ensemble des entiers naturels. Puis on s'est rendu compte que celà restreignait considérablement le champ d'étude des équations. On a alors introduit de nouveaux ensembles : l'ensemble des nombres relatifs (), l'ensemble des nombres rationnels (), l'ensemble des nombres réels (), ces ensembles vérifiant la relation :

L'objectif fut donc de créer un nouvel ensemble, extension de , afin de pouvoir résoudre des équations qui étaient impossibles dans : par exemple x²=-1 . On appelle ce nouvel ensemble ensemble des nombres complexes et sa notation est .

Definition

L'ensemble des nombres complexes est l'ensemble des nombres de la forme a + ib , avec a et b réels.

L'addition sur est définie par :   (a + ib) + (a' + ib') = (a + a') + (b + b')

La multiplication sur est définie par :   (a + ib) (a' + ib') = (aa' - bb') + i(ab' + (a'b)

Propriété

Le carré du nombre i est égal à -1 :  i² = -1  .

On en déduit immédiatement que i n'est pas réel.

Propriété

Les propriétés de l'addition, et de la multiplication dans sont les mêmes que dans . Ainsi, pour tous complexes z , z' , z'' , on a :

z + z' = z' + z zz' = z'z z + 0 = z z 1 = z z + (z' + z'') = (z + z') + z'' z(z'z'') = (zz')z'' z (z' + z'') = zz' + zz''

Remarque :

Attention, il n'y a pas de relation d'ordre dans . Les symboles < , > , et n'existent donc pas.

Théorème

Si a, a', b, b' sont réels, alors :

a + ib = a' + ib'        a = a'  et  b = b'

a + ib = 0        a = 0  et  b = 0

Definition

Pour tout nombre complexe z, il existe un couple unique de nombres réels (a,b) , tel que z = a + ib .

a est la partie réelle de z, notée Re(z).

b est la partie imaginaire de z, notée Im(z).

Definition

Un nombre complexe est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle.

Un nombre complexe est imaginaire pur lorsque sa partie réelle est nulle.

L'ensemble des imaginaires purs est noté  i . On a alors :

z     Im(z) = 0               z     Re(z) = 0

Définition

Soit z un nombre complexe, noté z = a + ib avec a et b réels. On appelle conjugué de z le nombre complexe a - ib , noté .

Toute expression complexe admet un conjugué, appelé quantité conjuguée.

Propriété

Pour tout nombre complexe z, le conjugué de est z.

On a alors     = z

Propriété

Un nombre complexe z est réel si et seulement si  z = .

Il est imaginaire pur si et seulement si  z = - .

Propriété

Pour tous complexes z et z' de , on a les propriétés suivantes pour les conjugués :