Définition

Soit m et n deux entiers relatifs. m est un multiple de n si il existe k tel que m = k n .

Définition

Soit d et n deux entiers relatifs. d est un diviseur de n si il existe k' tel que n = k' d .

Remarque :

m est un multiple de n     n est un diviseur de m   !

Propriété

Soit a, b et c des entiers relatifs.

Si a divise b et si b divise c, alors a divise c .

Propriété

Soit a, b, c et d des entiers relatifs.

Si a divise c et si b divise d, alors ab divise cd .

Propriété

Soit a, m et d des entiers relatifs.

m est un multiple de a     m est un multiple de -a

d est un diviseur de a     d est un diviseur de -a

d est un diviseur de a     -d est un diviseur de a

d est un diviseur de a     |d| est un diviseur de |a|

Théorème

Soit a et d des entiers relatifs, a étant non nul.

Si d divise a , alors   |d| |a|

Tout entier non nul admet donc un nombre fini de diviseurs.

Propriété

Soit a et b entiers naturels, b étant strictement positif.

Il existe un unique entier naturel q tel que :

qb a < (q+1)b

Définition   Division euclidienne

Soit a et b entiers naturels, b étant strictement positif.

Lorsqu'on détermine l'entier q tel que  qb a < (q+1)b  , on effectue la division euclidienne de a par b.

q est le quotient (euclidien) de a par b .

r = a - bq  est le reste de cette division euclidienne.

Théorème

Soit b un entier naturel. Pour tout a entier naturel, il existe un unique couple d'entiers q et r tels que :

a = bq + r         0 r < 1

Un entier naturel est donc toujours divisible par un autre, quitte à ce que le quotient euclidien soit nul (dans le cas où b > a).

Remarque :

Pour avoir un exemple de division euclidienne, cf. méthodes.