Bac S 1999 Paris (Juin 99)

Problème (10 points) Corrigé

Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;i,j) : on prendra 2 cm comme unité sur les deux axes et on placera l’axe des abscisses au milieu de la feuille et l’axe des ordonnées sur le bord gauche de la feuille millimétrée.

Partie A : Étude d’une fonction f et de sa courbe représentative (C)

On considère la fonction f, définie sur ]0 ; +¥[ par :

et on désigne par (C) sa courbe représentative relativement au repère ( O; i , j ) .

1. Déterminer les limites de f en +¥ et 0 . (0,5 point)

2. Montrer que f est dérivable sur ]0 ; +¥[ et calculer f '(x). (0,5 point ; 0,25 point)

3. Soit u la fonction définie sur ]0 ; +¥[ par u(x) = ln x + x - 3 .

3. a. Étudier les variations de u. (0,5 point)

3. b. Montrer que l’équation u(x) = 0 possède une solution unique a dans l’intervalle [2 ; 3].

Montrer que 2,20 < a < 2,21. (0,5 point)

3. c. Étudier le signe de u(x) sur ]0 ; +¥[. (0,5 point)

4. a. Étudier les variations de f. (0,5 point)

4. b. Exprimer ln a comme polynôme en a. Montrer que f (a) = - (a-1)² / a . (0,25 point ; 0,5 point)

En déduire un encadrement de f (a) d’amplitude 2 ´ 10^-2. (0,25 point)

5. a. Étudier le signe de f (x). (0,25 point)

5. b. Tracer (C). (0,5 point)

Partie B : Étude d’une primitive de f sur ]0 ; +¥[.

Soit F la primitive de f sur ]0 ; + ¥[ qui s’annule pour x = 1. On appelle (G) la courbe représentative de F relativement au repère (O;i,j) .

1. a. Sans calculer F(x), étudier les variations de F sur ]0 ; +¥[. (0,5 point)

1. b. Que peut-on dire des tangentes à (G) en ses points d’abscisses 1 et e² ? (0,5 point)

2. Calcul de F(x)

2. a. x étant un réel strictement positif, calculer l’intégrale suivante (on pourra faire une intégration par parties). (0,5 point)

2. b. Montrer que, pour tout x strictement positif : (0,25 point)

2. c. En déduire l’expression de F(x) en fonction de x. (0,5 point)

3. a. Montrer que lim _x®0 (x ln x ) = 0 . En déduire la limite de F en 0. (0,5 point ; 0,25 point)

3. b. Montrer que, pour x strictement supérieur à 1 : (0,25 point)

En déduire la limite de F en +¥ . (0,25 point)

3. c. Dresser le tableau de variation de F. (0,5 point)

3. d. Tracer (G) sur le même graphique que (C). (0,5 point)

4. Calcul d’une aire.

Calculer, en cm², l’aire du domaine limité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = e². (1 point)

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