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Bac S 1999     Paris  (Juin 99)

Exercice 1  (5 points)                                                                       Corrigé

 

 

Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal direct : (O;,) . On prendra 4 cm comme unité sur les deux axes.

 

On considère l’application F du plan dans lui-même qui, à tout point m, d’affixe z, associe le point M d’affixe (z2-z)/2  .

 

L’objet de cet exercice est de tracer la courbe (G) décrite par M lorsque m décrit le cercle (C) de centre O et de rayon l.

 

Soit t un réel de [-p; p] et m le point de (C) d’affixe z = eit.

 

1. Montrer que l’image M de m par F est le point de coordonnées : (0,5 point)

 

Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe (G).

 

2. Comparer x(-t) et x(t) d’une part, y(-t) et y(t) d’autre part. (0,5 point ; 0,5 point)

 

En déduire que (G) admet un axe de symétrie que l’on précisera. (0,5 point)

 

3. Montrer que x'(t) = sin t [1 - 2cos(t)] .

 

Étudier les variations de x sur [0 ; p]. (0,75 point)

 

4. Montrer que y'(t) = (cos(t) - 1) (1 + 2cos(t)).

 

Étudier les variations de y sur [0 ; p]. (0,75 point)

 

5. Dans un même tableau faire figurer les variations de x et y sur [0 ; p]. (0,5 point)

 

6. Placer les points de (G) correspondant aux valeurs 0 , p/3 , 2p/3 et p du paramètre t et tracer les tangentes en ces points (on admettra que pour t = 0 la tangente à (G) est horizontale). Tracer la partie de (G) obtenue lorsque t décrit [0 ; p] puis tracer (G) complètement. (1 point)

 

 

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