Bac S 1999 Maroc (Juin 99)

Problème (9 points) Corrigé

Le but du problème est l’étude d’une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +¥[ et d’une primitive de f .

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire g

Soit g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +¥[ par : g(x) = 2x² - (x²+1) ln (x²+1).

1. Montrer que g est dérivable sur l’intervalle [0 ; +¥[ et, en détaillant les calculs effectués, montrer que : (0,75 point)

g’(x) = 2x - 2x ln (x²+1)

2. Faire l’étude du sens de variation de g sur l’intervalle [0 ; +¥[ . (0,5 point)

3. Montrer que dans l’intervalle [ ] , il existe un unique réel a tel que g(a) = 0 ; donner l’approximation décimale à 10^-²près par défaut de a . (0,75 point)

4. En déduire le signe de g(x) , pour x appartenant à l’intervalle [0 ; +¥[ . (0,5 point)

Partie B : Étude de la fonction f

La fonction f est définie sur [0 ; +¥[ par :

Sa courbe représentative (C), dans le plan rapporté à un repère d’origine O, donnée en annexe, sera complétée et rendue avec la copie.

1. a. Montrer que lim _x_®₀ f(x)/x = 1 . (0,5 point)

En déduire que f est dérivable en 0 et donner la valeur de f '(0) . (0,5 point)

1. b. Vérifier que, pour x strictement positif : (0,5 point)

Faire l’étude du sens de variation de f sur l’intervalle [0 ; +¥[ . (0,5 point)

2. a. Montrer que, pour x ³ 1 : (1 point)

2. b. En déduire la limite de f en +¥ . (0,5 point)

Partie C : Étude d’une primitive de f

On note F la primitive de f sur l’intervalle [0 ; + ¥[, qui s’annule pour x = 1. On rappelle que : (on ne cherchera pas à calculer F(x)).

1. a. Montrer que, pour x > 0 : (0,5 point)

1. b. Calculer I pour x ³ 1 et en déduire la limite de F en +¥ . (1 point)

2. Dresser le tableau des variations de F. (0,5 point)

3. Montrer que f(1) < F(2) < f(a) et en déduire un encadrement de F(2) . (On prendra f(a) » 0,8.) (0,5 point)

4. On note I le point de coordonnées (1 ; 0), A le point de (C) de coordonnées (1 ; ln 2) et B le point de coordonnées (ln 2 ; ln 2).

4. a. Vérifier que B appartient à la tangente à (C) en O. (0,25 point)

4. b. Placer les points I, A et B sur la figure de l’annexe 1 et tracer les segments [OA] , [OB] , [BA] et [AI] . (0,25 point)

4. c. On admet que, pour les abscisses appartenant à l’intervalle [0 ; 1], la courbe (C) est située au-dessus de [OA] et au-dessous de [OB] et de [BA].

Déterminer un encadrement de F(0) , d’amplitude inférieure à 2 10 ^-¹. (0,5 point)

5. Tracer la représentation graphique (G) de F en exploitant au maximum les résultats précédents ; on précisera notamment la tangente à (G) au point d’abscisse 1 en la traçant et en donnant son coefficient directeur. (unité graphique : 2 cm) (1 point)

Annexe 1