Bac S 1999 Maroc (Juin 99)

Exercice 2 (5 points) Corrigé

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal (O ; ; ) A , A’ , B , B’ sont les points d’affixes respectives 1 , -1 , i , -i .

À tout point M d’affixe z , distinct des points O, A, A', B et B', on associe les points M₁ et M₂ d’affixes respectives z₁ et z₂, tels que les triangles BMM₁ et AMM₂ soient rectangles et isocèles avec :

Voir la figure sur l’annexe 1, qui sera complétée et rendue avec la copie.

1. a. Justifier les égalités z - z₁ = i (i - z₁) et 1 - z₂ = i (z - z₂) . (0,5 point)

1. b. Vérifier que z₁ et z₂ peuvent s’écrire : (0,5 point)

2. On se propose dans cette question de déterminer les points M pour lesquels le triangle OM₁M₂ est équilatéral.

2. a. Montrer que : OM₁ = OM₂ équivaut à | z + 1 | = | z + i | . (1 point)

En déduire l’ensemble (D) des points M tels que OM₁ = OM₂ et tracer (D) sur la figure. (0,5 point)

2. b. Montrer que : OM₁ = M₁M₂ équivaut à | z + 1 |² = 2 | z |² . (0,5 point)

2. c. En déduire l’ensemble (G) des points M du plan pour lesquels OM₁ = M₁M₂. (0,5 point)

On pourra montrer que | z + 1 |² = 2 | z |² équivaut à | z – 1 |² = 2 . Tracer (G) sur la figure. (0,5 point)

2. d. En déduire les deux points M pour lesquels OM₁M₂ est un triangle équilatéral et les placer sur la figure. (1 point)

Annexe 1