Bac S 1999 Asie (Juin 99)

Problème (11 points) Corrigé

L’objet de ce problème est de résoudre une équation différentielle, d’en étudier une fonction solution et de calculer des aires.

Partie A : Résolution de l’équation différentielle (E) : y' + y = x - 1

1. À l’aide d’une intégration par parties, calculer : (1 point)

2. a. Soit z une fonction dérivable sur l’ensemble des nombres réels. On pose f(x) = z(x) e^-^x.

Montrer que la fonction f est solution de (E) si, et seulement si, pour tout x de , z'(x) = e^x(x -1). (1 point)

2. b. À l’aide de la première question, déterminer toutes les fonctions z vérifiant, pour tout x de , z'(x) = e^x(x -1). (0,5 point)

3. a. Déduire de la question précédente les solutions de (E). (0,5 point)

3. b. Déterminer la solution de (E) pour laquelle l’image de 1 est 0. (0,5 point)

Partie B : Étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur par f (x) = x - 2 + e^1-x. Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; i , j ) (unité graphique : 1 cm). On désigne par (C_f) la courbe représentative de f.

1. a. Étudier le sens de variation de f. (1 point)

1. b. Préciser lim _x_®_-_¥ f(x) et lim _x_®₊_¥ f(x) . (1 point)

2. a. Montrer que la droite (D), d’équation y = x - 2, est asymptote à la courbe (C_f). (1 point)

2. b. Préciser la position de (C_f) par rapport à (D). (0,5 point)

3. Tracer (D) et (C_f). (1 point)

Partie C : Calcul d’aires

Soit x₀ un nombre réel strictement positif.

1. On considère le domaine limité par la courbe (C_f), son asymptote (D) et les droites d’équations x = 0 et x = x₀.

Exprimer, à l’aide de x₀, l’aire S₁ de ce domaine. (0,5 point)

2. On considère la fonction g, définie sur par g(x) = e¹^-^x, dont on trouvera la courbe représentative (C_g) en annexe. Donner une interprétation, en terme d’aire, de l’intégrale ayant servi au calcul de S₁ à l’aide de la courbe (C_g). (0,5 point)

3. A est le point de coordonnées (x₀ ; 0) ; B est le point de la courbe (C_g) d’abscisse x₀.

Soit (T) la tangente à la courbe (C_g) au point d’abscisse x₀ ; C est le point d’intersection de (T) et de l’axe des abscisses.

Déterminer les coordonnées de C. (1 point)

4. Calculer (en unités d’aire) l’aire S₂ du triangle ABC. (0,5 point)

Vérifier que S₁ + 2 S₂ = 0. (0,5 point)

Annexe 1

Courbe représentative (C_g) de la fonction g définie sur par g(x) = e^1-x

A compléter et à rendre avec la copie