Correction du sujet :      Bac S 1999  Paris  (Juin 99)

Exercice 2  (5 points)  SPECIALITE                                  Énoncé

 

1. a.     1. b.     1. c.     1. d.     1. e.     2. a.     2. b.     2. c.

 

Ce sujet nécessite de connaître les points suivants du cours :

• toute l'arithmétique !

 

 

Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres :

 

a_n = 4 ´ 10 ⁿ - 1,   b_n = 2 ´ 10 ⁿ - 1 et c_n = 2 ´ 10 ⁿ + 1.

 

1. a. Calculer a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂, a₃, b₃, et c₃. (0,25 point)

 

On a :

• a₁ = 4 ´ 10¹ - 1 soit a₁ = 39
• b₁ = 2 ´ 10¹ - 1 soit b₁ = 19
• c₁ = 2 ´ 10¹ + 1 soit c₁ = 21

 

• a₂ = 4 ´ 10² - 1 soit a₂ = 399
• b₂ = 2 ´ 10² - 1 soit b₂ = 199
• c₂ = 2 ´ 10² + 1 soit c₂ = 201

 

• a₃ = 4 ´ 10³ - 1 soit a₃ = 3999
• b₃ = 2 ´ 10³ - 1 soit b₃ = 1999
• c₃ = 2 ´ 10³ + 1 soit c₃ = 2001 .

 

 

1. b. Combien les écritures décimales des nombres a_n et c_n ont-elles de chiffres ?

Montrer que a_n et c_n sont divisibles par 3. (0,5 point ; 0,5 point)

 

Deux méthodes sont possible, l'une algébrique, l'autre par un raisonnement par récurrence :

 

• 1^ère méthode :

D'après les expressions de a_n et c_n , on a :

·         10 ⁿ < a_n < 10 ⁿ⁺¹

·         10 ⁿ < c_n < 10 ⁿ⁺¹

 

donc  a_n et c_n comportent n+1 chiffres dans leurs écritures décimales .

 

On a pour tout entier naturel n non nul:

 

a_n = 3´10ⁿ + (10ⁿ -1)

 

Or on a :

 

10 ⁿ - 1 = 10 ⁿ - 10 ^n-1 + 10 ^n-1 - 10 ^n-2 + 10 ^n-2 - 10 ^n-3 …  10 + 10 - 1

= (10-1)(10 ^n-1 + 10 ^n-2 + … + 10 + 1)

= 9 ´ (10 ^n-1 + 10 ^n-2 + … + 10 + 1)

 

donc a_n s'écrit :

 

a_n = 3´10 ⁿ + 9´(10 ^{n -1} + 10 ^{n - 2} + … + 1)

a_n = 3´[10 ⁿ + 3´(10 ^n-1 + 10 ^n-2 + … + 1)]

 

donc    a_n est donc un multiple de 3.

 

En procédant de la même manière, on obtient :

 

c_n = 3 ´ [10ⁿ - 3 ´ (10^{n - 1} + 10^{n - 2} + … + 1)]

 

donc    c_n est donc un multiple de 3.

 

donc les entiers a_n et c_n sont donc divisibles par 3.

 

 

• 2^ème méthode :

 

Effectuons une démonstration par récurrence pour démontrer que a_n est divisible par trois :

·         a₁ = 39 = 3 ´ 13

donc a₁ est bien divisible par 3 et la propriété est bien vraie au rang n=1 .

 

·         Hypothèse de récurrence : Supposons maintenant cette propriété vraie jusqu'au rang n et démontrons la pour le rang n+1 :

 

On a   a_n+1 = 4´10 ⁿ⁺¹ - 1

                 = 4´10 ⁿ ´10 - 1

                 = 10´4´10 ⁿ - 10 + 10 - 1   (on introduit (-10+10) - ce qui fait zéro ! - pour faire apparaître a_n )

                 = 10´[4´10 ⁿ - 1] + 9

                 = 10´[a_n] + 3´3

 

Or a_n est divisible par 3 ,

 

donc on obtient que a_n+1 est divisible par trois.

 

donc par récurrence, a_n est bien divisible par trois.

 

 

Également par un raisonnement par récurrence, montrons que c_n est divisible par trois :

·         c₁ = 21 = 3 ´ 7

donc c₁ est bien divisible par 3 et la propriété est bien vraie au rang n=1 .

 

·         Hypothèse de récurrence : Supposons maintenant cette propriété vraie jusqu'au rang n et démontrons la pour le rang n+1 .

 

On a   c_n+1 = 2´10 ⁿ⁺¹ + 1

                 = 2´10 ⁿ ´10 + 1

                 = 10´2´10 ⁿ + 10 - 10 + 1   (on introduit (10-10) - ce qui fait zéro ! - pour faire apparaître c_n )

                 = 10´[2´10 ⁿ + 1] - 9

                 = 10´[c_n] - 3´3

 

Or, par hypothèse de récurrence, c_n est divisible par 3 ,

donc on obtient que c_n+1 est divisible par trois.

 

donc par récurrence, c_n est bien divisible par trois.

 

donc les entiers a_n et c_n sont donc divisibles par 3.

 

 

1. c. Montrer, en utilisant la liste des nombres premiers inférieurs à 100 donnée ci-dessous, que b₃ est premier.(0,5 point)

 

Appliquons la méthode dite "du crible d'Erasthotène" :

 

On a 44² = 1936   et   45² = 2025  ,

 

comme b₃ = 1999 , on a 44² < 1999 < 45² ,

 

or aucun des nombres premiers inférieurs à 44 ne divise 1999 , (cf. liste des nombres premiers donnée dans l'énoncé)

 

donc 1999 est un nombre premier,

 

donc b₃ = 1999 est un nombre premier.

 

 

1. d. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n,   b_n ´ c_n = a_2n. (0,25 point)

En déduire la décomposition en produit de facteurs premiers de a₆. (0,25 point)

 

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

 

b_n ´ c_n = (2´10 ⁿ - 1)(2´10ⁿ + 1) = 4´10²ⁿ - 1 = a_2n

 

donc pour tout entier naturel n non nul,   b_n ´ c_n = a_2n  .

 

a₆ = b₃ ´ c₃ = 1999 ´ 2001 .

 

On a :

·                                    1999 est premier  (cf. ci-dessus)

·                                    la décomposition en facteurs premiers de est 2001 = 3´667 = 3´23´29 ,

 

donc la décomposition en facteurs premiers de a₆ est   a₆ = 1999 ´ 29 ´ 23 ´ 3 .

 

 

1. e. Montrer que PGCD (b_n,c_n) = PGCD (c_n, 2).

En déduire que b_n et c_n sont premiers entre eux. (0,5 point ; 0,5 point)

 

Soit d le PGCD de b_n et c_n, d divise b_n et c_n .

 

D'autre part, on a :   c_n - b_n = 2 ,

 

donc d est un divise b_n , c_n et 2 ,

 

donc   PGCD (b_n ; c_n) = PGCD (c_n ; 2) .

 

On a   c_n+1 = 2´10 ⁿ + 1

 

donc c_n est impair et on en déduit que   PGCD (c_n ; 2) = 1 ,

 

donc  PGCD (b_n ; c_n) = 1 ,

 

donc b_n et c_n sont premiers entre eux.

 

 

2. On considère l’équation :

(1)    b₃ x + c₃ y = 1

d’inconnues les entiers relatifs x et y.

2. a. Justifier le fait que (1) possède au moins une solution. (0,5 point)

 

1999 et 2001 sont premiers entre eux,

 

donc, d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs x et y tels que   1999 x  +  2001 y  =  1 .

 

 

2. b. Appliquer l’algorithme d’Euclide aux nombres c₃ et b₃ ; en déduire une solution particulière de (1). (0,75 point)

 

L’algorithme d’Euclide donne :

 

2001 = 1999 ´ 1 + 2

 

1999 = 999 ´ 2 + 1 ,

 

On écrit alors :

 

       2001´999  = 1999´999  + 2´999

 

= 1999´999  + (1999 - 1)

 

= 1999´1000 - 1

 

donc     1000 ´ 1999 - 999 ´ 2001 = 1

 

donc     1000 ´ b₃ - 999 ´ c₃ = 1  .

 

donc une solution particulière de (1) est   x = 1000  et  y = - 999 .

 

 

2. c. Résoudre l’équation (1). (0,5 point)

 

Posons x₀ = 1000  et y₀ = -999 .

 

On a les équations suivantes :

• 1999 x + 2001 y = 1
• 1999 x₀ + 2001 y₀ = 1 .

 

Effectuons la soustraction membre à membre de ces deux égalités :

 

On a :

 

(x;y) solutions de (1)     ó        1999 (x - x₀) + 2001 (y - y₀) = 0

 

ó        1999 (x - 1000) + 2001 (y + 999) = 0

 

ó        2001 (y + 999) = 1999 (1000 - x)

 

1999 divise  2001 (y + 999) , et comme 1999 et 2001 sont premiers entre eux,   1999 divise  (y + 999) ,

 

donc il existe un entier relatif k tel que   y + 999 = 1999 k

 

donc   y = - 999 + 1999 k .

 

donc :

 

    2001 (y + 999) = 1999 (1000 - x)       ó        2001 [(-999 + 1999 k) + 999] = 1999 (1000 - x)

 

                                                           ó        2001 [1999 k] = 1999 (1000 - x)