Correction
du sujet : Bac S 1999 Amérique du Nord (Juin 99)
Exercice
1 (4 points) Énoncé
Ce sujet nécessite de connaître les points suivants
du cours :
- variable aléatoire (loi de probabilité)
- résolution d'un trinôme du second degré
Partie I
Lors de la préparation d’un concours, un
élève n’a étudié que 50 des 100 leçons. On a mis 100 papiers contenant chacun une
question dans une urne, ces questions portant sur des leçons différentes. Le
candidat tire simultanément au hasard 2 papiers.
1. Quelle est la probabilité qu’il ne
connaisse aucun de ces sujets ? (0,5 point)
Le candidat tire simultanément deux papiers
dans l’urne qui en contient 100. On en déduit immédiatement le nombre de
tirages distincts de deux sujets :
Cet étudiant n’a étudié que 50 leçon sur 100, par
conséquent le nombre de tirages distincts de deux sujets sur des leçons qu’il
ne connaît pas est :
Notons X la variable aléatoire associée au nombre de
sujets que l’élève a étudiés après tirage. P(X = 0) désigne donc la probabilité
qu’il ne connaisse aucun des deux sujets tirés.
On a alors :
P(X=0) = 1225/4950 = 49/198 .
La probabilité P(X=0) que
l’élève ne connaisse aucun des deux sujets tirés est donc égale à 49/198.
2. Quelle est la probabilité qu’il
connaisse les deux sujets ? (0,5 point)
L'élève connait 50 sujets sur les 100 qu'il devait
étudier. Il y a donc encore 1225 façons de tirer deux sujets qu'il a déjà
étudié tous les deux,
donc la probabilité p(X = 2) que l'élève ait étudié
les deux sujets tirés est P(X=2)
= 1225/4950 = 49/198 .
La probabilité P(X=2) que
l’élève connaisse les deux sujets tirés est donc encore égale à 49/198.
On pouvait s'attendre à ce
résultat, car il y a autant de sujets étudiés que de sujets non étudiés par
l'élève, donc par symétrie du problème, on pouvait affirmer que P(X=0) =
P(X=2).
3. Quelle est la probabilité qu’il
connaisse un et un seul de ces sujets ? (0,5 point)
La variable aléatoire X peut prendre seulement les
valeurs 0, 1 ou 2 (aucun sujet, un et un seul sujet ou deux sujets
connu(s) par l'élève sur les deux sujets tirés).
Les évènements "aucun sujet connu",
"un et un seul sujet connu" et "deux sujets connus" sont
incompatibles et forment une partition totale de l'ensemble des évènements
possibles (c'est-à-dire "qu'ils regroupent tous les cas possibles de
tirage et qu'il n'y a pas d'autre cas possible"),
donc : P(X
= 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 1.
49/198 + P(X=1) + 49/198 = 1 d'où P(X=1) = 1 - 49/99
et donc P(X=1) =
50/99.
La probabilité que le
candidat connaisse un et un seul des sujets est donc égale à 50/99.
4. Quelle est la probabilité qu’il
connaisse au moins un de ces sujets ? (1 point)
La probabilité que le candidat connaisse au moins un
de ces sujets est P(X³1) et on a : P(X³1) = P(X=1) + P(X=2) car soit le candidat connaît un et un seul
sujet, soit il connaît les deux,
d'où P(X³1) = 50/99 + 49/198 =
149/198 .
La probabilité que le
candidat connaisse au moins un des deux sujets est donc égale à 149/198.
Partie II
On considère
maintenant que l’élève a étudié n des 100 leçons (n étant un entier naturel
inférieur ou égal à 100).
1. Quelle est la probabilité pn
qu’il connaisse au moins un de ces sujets ? (0,75 point)
La probabilité P(X=0) que le candidat ne connaisse
aucun des deux sujets tirés est :
En effet, si le candidat a étudié n leçons, il en
ignore 100-n et le numérateur désigne le nombre de tirage où le candidat ne
connaît aucun sujet. On a alors :
"Le candidat connaît au moins un des sujets
tirés" est le contraire de l'évènement "le candidat ne connaît aucun
des sujets tirés".
La probabilité pn de cet événement est
donc :
donc la probabilité pn que l'élève
connaisse au moins un des sujets tirés est égale à (199n-n²)/9900 .
2. Déterminer les entiers n tels que pn
soit supérieur ou égal à 0,95. (0,75 point)
pn ³ 0,95 ó (199n-n²) / 9900 ³ 0,95
ó (199n-n²)
/ 9900 ³ 19/20
ó (-n²
+ 199n - 9405) / 9900 ³ 0
ó -
n² + 199n - 9405 ³ 0 (car 9900 est
strictement positif)
Le discriminant D trinôme du second degré - n² + 199n - 9405 vaut
D = 1992 - 4 ´ 1 ´ 9405 = 1981.
Le discriminant est strictement positif, donc ce
trinôme admet deux racines réelles distinctes :
Un trinôme de la forme an² + bn + c est du
signe de (-a) entre les racines, donc - n2 + 199n - 9405 ³ 0
pour n Î [n1; n2]
.
On a, à 0,1 près,
n1 = 77,2 et n2 = 121,8 .
Le candidat doit donc avoir étudié 78 leçons au
moins et 100 leçons au plus pour que la probabilité qu’il connaisse au moins un
des sujets qu'il tirera soit supérieure ou égale à 0,95.
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