Bac L 1999 Asie (Juin 99)

Exercice 2 (4 points) SPECIALITE Corrigé

On désigne par e la base des logarithmes népériens, c’est-à-dire l’unique réel e tel que ln(e) = 1.

On considère la suite (u_n) à termes strictement positifs de terme initial u₀ = 1 et telle que, pour tout entier n :

1. Calculer u₁ , u₂ , u₃ . (On donnera les valeurs exactes puis approchées à 10^-2 près.) (0,75 point)

2. Pour tout entier n, on pose v_n = ln(u_n) ; exprimer v_n+1 en fonction de v_n . (0,5 point)

3. Soit la suite (w_n) de terme général, w_n = v_n - 4. Montrer que (w_n) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le terme initial w₀ . Exprimer (w_n) en fonction de n et donner lim _n®+¥ w_n . (1,75 point)

4. En déduire lim _n®+¥ v_n puis, après avoir exprimé u_n en fonction de v_n , calculer lim _n®+¥ u_n . (1 point)

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